ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 795: векторы

План решения. Для доказательства утверждения введем систему координат с началом в центре сферы. Пусть радиус сферы равен R. Обозначим три попарно перпендикулярные хорды, исходящие из одной точки на сфере, как отрезки AB, AC и AD, где точка A лежит на сфере. Нам нужно найти сумму квадратов длин этих хорд: AB²+AC²+AD². Вычисление. Пусть точка A имеет координаты (x_0,y_0,z₀). Так как A лежит на сфере, то выполняется условие:x20+y20+z20=R²Так как хорды попарно перпендикулярны, мы можем выбрать оси координат так, чтобы они совпадали с направлениями этих хорд, но проще рассмотреть векторный подход или геометрические свойства прямоугольного параллелепипеда.Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, ребра которого равны длинам хорд a=AB, b=AC, c=AD. Диагональ этого параллелепипеда, выходящая из вершины A, будет равна расстоянию от точки A до противоположной вершины D′. Однако более прямой путь — использовать свойство диаметра.Пусть O — центр сферы. Рассмотрим векторы OA, OB, OC, OD. Длины всех этих векторов равны R.Длина хорды AB определяется как |\bar{OB} - \bar{OA}|. Тогда квадрат длины хорды:AB²=|OB-OA|²=|OB|²+|OA|²-2(OB,OA)=2R²-2(OB,OA)Аналогично для других хорд:AC²=2R²-2(OC,OA) AD²=2R²-2(OD,OA)

Сумма квадратов хорд:

S=AB²+AC²+AD²=6R²-2[(OB,OA)+(OC,OA)+(OD,OA)]

Заметим, что векторы AB, AC, AD попарно перпендикулярны. Это означает, что если мы построим прямоугольную систему координат с началом в точке A и осями вдоль этих хорд, то координаты точек B,C,D будут иметь вид (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) соответственно, где a,b,c — длины хорд.

Центр сферы O в этой системе координат имеет некоторые координаты (x_O,y_O,z_O). Уравнение сферы в этой системе: (x-x_O)²+(y-y_O)²+(z-z_O)²=R².

Точка A(0,0,0) лежит на сфере, поэтому:

x2O+y2O+z2O=R²

Точки B(a,0,0), C(0,b,0), D(0,0,c) также лежат на сфере. Подставим их координаты в уравнение сферы:

Для B: (a-x_O)²+y2O+z2O=R²⇒a²-2ax_O+x2O+y2O+z2O=R². Так как x2O+y2O+z2O=R², получаем a²-2ax_O=0⇒a=2x_O (так как a≠0).

Для C: аналогично получаем b=2y_O.

Для D: аналогично получаем c=2z_O.

Теперь найдем сумму квадратов:

a²+b²+c²=(2x_O)²+(2y_O)²+(2z_O)²=4(x2O+y2O+z2O)

Вспомним, что x2O+y2O+z2O=R². Следовательно:

a²+b²+c²=4R²

Так как диаметр шара d=2R, то d²=4R². Таким образом, сумма квадратов хорд равна квадрату диаметра.

Проверка.

Результат 4R² не зависит от конкретных значений x_O,y_O,z_O (то есть от положения центра относительно выбранных осей, а значит, и от ориентации самих хорд), а зависит только от радиуса сферы R. Это подтверждает утверждение задачи. Если бы одна из хорд была диаметром, например, AB проходил через центр, то A и B были бы концами диаметра, AB=2R. Остальные две хорды, будучи перпендикулярными к AB и друг другу, должны были бы лежать в плоскости, перпендикулярной AB в точке A. Но так как A на сфере, единственная хорда, лежащая в касательной плоскости, вырождается в точку (нулевая длина), либо задача предполагает, что все три хорды ненулевые. В общем случае формула 4R² работает корректно для любой тройки попарно перпендикулярных хорд, исходящих из одной точки.