ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 794

План решения.

Для доказательства того, что проекция вершины O на плоскость ABC (обозначим её H) является ортоцентром треугольника ABC, необходимо показать, что отрезки AH, BH и CH являются высотами этого треугольника. То есть нужно доказать перпендикулярность AH⊥BC, BH⊥AC и CH⊥AB. Мы воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах, опираясь на условие, что все плоские углы при вершине O прямые (OA⊥OB, OB⊥OC, OC⊥OA).

Ход доказательства.

1. Рассмотрим ребро BC и его связь с вершиной A. Так как угол BOC прямой, то OB⊥OC. Также по условию OA⊥OB и OA⊥OC. Это означает, что прямая OA перпендикулярна двум пересекающимся прямым OB и OC, лежащим в плоскости OBC. Следовательно, OA⊥(OBC). Пусть H — проекция точки O на плоскость ABC. Тогда OH⊥(ABC), а значит, OH⊥BC. Рассмотрим прямую BC. Она перпендикулярна прямой OA (так как OA⊥(OBC), а BC⊂(OBC)... Стоп, здесь логическая ошибка в стандартном рассуждении, давайте аккуратно ). Давайте переформулируем строго через векторы или классическую геометрию: Шаг 1: Докажем, что AH⊥BC. По условию OA⊥OB и OA⊥OC. Значит, прямая OA перпендикулярна плоскости OBC. Следовательно, OA⊥BC. Точка H — проекция O на плоскость ABC, поэтому OH⊥(ABC), откуда следует, что OH⊥BC. Итак, прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым OA и OH, которые лежат в плоскости AOH (так как A,O,H определяют эту плоскость). Следовательно, BC⊥(AOH). Так как отрезок AH лежит в плоскости AOH, то BC⊥AH. Это означает, что AH является высотой треугольника ABC, проведённой из вершины A к стороне BC. Шаг 2: Аналогично докажем для других сторон. Рассмотрим ребро AC. По условию OB⊥OA и OB⊥OC, значит, OB⊥(OAC), откуда OB⊥AC. Так как OH⊥(ABC), то OH⊥AC. Прямая AC перпендикулярна OB и OH, следовательно, AC⊥(BOH). Отсюда следует, что AC⊥BH. Значит, BH — высота треугольника ABC, проведённая из вершины B к стороне AC. Шаг 3: Третья высота. Рассмотрим ребро AB. По условию OC⊥OA и OC⊥OB, значит, OC⊥(OAB), откуда OC⊥AB. Так как OH⊥(ABC), то OH⊥AB. Прямая AB перпендикулярна OC и OH, следовательно, AB⊥(COH). Отсюда следует, что AB⊥CH. Значит, CH — высота треугольника ABC, проведённая из вершины C к стороне AB.

Вывод.

Мы доказали, что отрезки AH, BH и CH являются высотами треугольника ABC. Поскольку три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре), точка H (проекция вершины O) совпадает с точкой пересечения высот треугольника ABC. Что и требовалось доказать.