ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 793: векторы

План решения.

Обозначим тетраэдр как SABC, где S — вершина, а ABC — основание. По условию боковые рёбра равны: SA=SB=SC. Пусть прямая l проходит через точку S и образует равные углы с векторами a=SA, b=SB, c=SC. Нам нужно доказать, что если эта прямая пересекает плоскость основания в точке H, то SHbot(ABC). Для доказательства перпендикулярности прямой к плоскости достаточно показать, что направляющий вектор этой прямой перпендикулярен двум линейно независимым векторам, лежащим в этой плоскости. В качестве таких векторов возьмём AB и AC.

Вычисление и доказательство.

Пусть n — единичный вектор направления прямой l. Условие «образует равные углы» означает, что скалярные произведения n с векторами боковых рёбер равны между собой:

na=nb=nc=k Рассмотрим вектор AB. Он выражается через векторы из вершины S как разность: AB=SB-SA=b-a Найдём скалярное произведение n на AB: nAB=n(b-a)=nb-na Так как по условию nb=na=k, то: nAB=k-k=0 Это означает, что вектор n перпендикулярен вектору AB, то есть прямая lbotAB.

Аналогично рассмотрим вектор AC: AC=SC-SA=c-a Скалярное произведение: nAC=n(c-a)=nc-na Так как nc=na=k, то: nAC=k-k=0 Значит, прямая lbotAC.

Проверка и вывод.

Мы доказали, что прямая l (вектор n) перпендикулярна двум прямым AB и AC, которые лежат в плоскости основания ABC и пересекаются в точке A. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна самой этой плоскости.

Следовательно, SHbot(ABC), что и требовалось доказать.