ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 846: трапеция
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Павел Лебедев, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC. Пусть M — середина боковой стороны CD. Нам нужно доказать, что площадь трапеции равна произведению длины другой боковой стороны AB на расстояние от точки M до прямой AB. Обозначим это расстояние (высоту треугольника ABM относительно основания AB) через h. Тогда утверждение сводится к доказательству равенства SABCD=AB·h.
Ход вычислений и рассуждений.
1. Проведём прямую AM и продолжим её до пересечения с прямой, содержащей основание BC, в точке K. Рассмотрим треугольники ADM и KCM. 2. Так как M — середина CD, то DM=MC.
3. Углы ∠AMD и ∠KMC равны как вертикальные.
4. Поскольку AD∥BC (основания трапеции), то внутренние накрест лежащие углы при секущей CD равны: ∠ADM=∠KCM.
5. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) получаем △ADM=△KCM.
6. Из равенства треугольников следует, что их площади равны: SADM=SKCM.
7. Теперь выразим площадь всей трапеции ABCD. Она состоит из четырёхугольника ABCM и треугольника ADM: SABCD=SABCM+SADM.
8. Заменим SADM на равную ей SKCM: SABCD=SABCM+SKCM.
9. Фигура, составленная из ABCM и KCM, является треугольником ABK. Следовательно, SABCD=SABK.
10. Рассмотрим полученный треугольник ABK. Его площадь можно вычислить по формуле: половина произведения основания на высоту. В качестве основания возьмём сторону AB. Высота, опущенная из вершины K на прямую AB, нам неизвестна напрямую, но мы знаем высоту из вершины M.
11. Вернёмся к равенству треугольников △ADM=△KCM. Из него также следует равенство соответствующих сторон: AM=MK. Это значит, что точка M является серединой отрезка AK.
12. Рассмотрим треугольник ABK. Отрезок BM является медианой этого треугольника, проведённой к стороне AK. Однако нам удобнее использовать свойство площадей треугольников с общей высотой или медианой. Медиана делит треугольник на два равновеликих. Но здесь проще посмотреть на связь высот.
13. Пусть hM — расстояние от точки M до прямой AB (это и есть искомый перпендикуляр). Пусть hK — расстояние от точки K до прямой AB.
14. Так как M — середина AK, а проекция отрезка на прямую сохраняет пропорциональность расстояний точек отрезка до этой прямой (или используя подобие прямоугольных треугольников, образованных перпендикулярами), то расстояние от конца отрезка (K) до прямой равно удвоенному расстоянию от середины (M) до той же прямой. То есть hK=2hM.
15. Площадь треугольника ABK равна: SABK=1/2·AB·hK.
16. Подставим hK=2hM: SABK=1/2·AB·(2hM)=AB·hM.
17. Поскольку SABCD=SABK, то SABCD=AB·hM.
Проверка и вывод.
Мы показали, что площадь трапеции равна площади треугольника ABK, который был построен достроением. Также мы установили, что высота этого треугольника, опущенная на сторону AB, вдвое больше расстояния от середины боковой стороны CD до прямой AB. Таким образом, произведение длины боковой стороны AB на перпендикуляр из середины M действительно даёт площадь трапеции. Доказательство завершено.
Доказано: SABCD=AB·h, где h — расстояние от середины CD до прямой AB.
Использован метод достраивания трапеции до треугольника. Ключевые шаги: 1) Равенство треугольников при достраивании; 2) Замена площади трапеции площадью большого треугольника; 3) Связь высоты большого треугольника с расстоянием от середины боковой стороны.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 846 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 846?
Краткий ответ: Доказано: S_ABCD = AB · h, где h — расстояние от середины CD до прямой AB.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи к главе VII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.