ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 847: подобие треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Алексей Широков, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC и AOD равны S_1 и S_2 соответственно. Найдите площадь всей трапеции.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения площади трапеции ABCD разобьём её на четыре треугольника, образованные пересечением диагоналей в точке O: △BOC, △AOD, △AOB и △COD. Нам известны площади двух из них: SBOC=S1 и SAOD=S2. Так как основания трапеции параллельны (BC‖AD), то треугольники BOC и AOD подобны. Используя свойства подобия и отношения площадей, найдём площади оставшихся двух треугольников, а затем сложим все части.
Вычисление.
1. Рассмотрим подобие треугольников △BOC≈△DOA. Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон или высот. Поскольку отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, имеем:
SBOC/SAOD=k2=S1/S2Отсюда коэффициент подобия (отношение линейных размеров):
k=S1/S2=S1/S2Это означает, что отношение отрезков диагоналей также равно этому коэффициенту:
BO/OD=CO/OA=S1/S22. Теперь найдём площадь треугольника AOB. Треугольники AOB и BOC имеют общую высоту, опущенную из вершины B на прямую AC. Следовательно, их площади относятся как основания этих треугольников, то есть как AO:OC.
Из предыдущего пункта мы знаем, что CO/OA=S1/S2, значит AO/OC=S2/S1.
Запишем пропорцию для площадей:
SAOB/SBOC=AO/OC=S2/S1 SAOB=SBOC·S2/S1=S1·S2/S1=S1·S2=S1S23. Аналогично найдём площадь треугольника COD. Треугольники COD и AOD имеют общую высоту из вершины D к прямой AC, поэтому их площади относятся как CO:OA:
SCOD/SAOD=CO/OA=S1/S2 SCOD=SAOD·S1/S2=S2·S1/S2=S2·S1=S1S2Заметим, что площади боковых треугольников равны между собой: SAOB=SCOD=S1S2.
4. Площадь всей трапеции равна сумме площадей четырёх треугольников:
SABCD=SBOC+SAOD+SAOB+SCOD SABCD=S1+S2+S1S2+S1S2 SABCD=S1+2S1S2+S2Полученное выражение является полным квадратом суммы:
SABCD=(S1)2+2S1S2+(S2)2=(S1+S2)2Проверка.
Если трапеция вырождается в параллелограмм, то S1=S2=S/4 (где S — площадь параллелограмма). Тогда формула даёт (S/4+S/4)2=(2S/2)2=S. Результат совпадает с ожидаемым значением площади всего четырехугольника. Логика рассуждений корректна.
(S1+S2)2
Ключевые моменты: использование подобия треугольников при параллельных основаниях, свойство равновеликости боковых треугольников трапеции, вынесение полного квадрата.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 847 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 847?
Краткий ответ: (√S_1 + √S_2)^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи к главе VII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.