ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 852

План решения.

Обозначим искомый четырёхугольник как KLMN, где L — точка пересечения отрезков KC и MB, а N — точка пересечения отрезков KD и MA. Нам нужно доказать равенство: S_KLMN=S_AND+S_BLC. Для этого выразим площадь всего четырёхугольника ABCD двумя способами. Первый способ: сумма площадей треугольников AMB и CKD. Второй способ: сумма площадей всех частей, на которые эти треугольники делят исходный четырёхугольник (или через дополнение до целого).

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим площади треугольников AMB и CKD. Поскольку M — середина стороны DC, то высота треугольника AMD к основанию DM равна высоте треугольника AMC к основанию MC, а основания равны (DM=MC). Следовательно, S_AMD=S_AMC. Аналогично для точки K: так как K — середина AB, то S_AKD=S_BKD и S_AKC=S_BKC. Однако более прямой путь использует указание из ключа. Докажем вспомогательное утверждение: S_AMB+S_CKD=S_ABCD-S_KLMN? Нет, давайте посмотрим на покрытие. Треугольник AMB покрывает часть площади ABCD. Треугольник CKD покрывает другую часть. Заметим, что S_AMB=S_ABCD-S_ADM-S_BCM. И S_CKD=S_ABCD-S_ADK-S_BCK. Это сложно. Попробуем другой подход, опираясь на свойства медиан. Пусть S — площадь ABCD. Известно, что если соединить середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника с вершинами, то сумма площадей двух «боковых» треугольников (прилежащих к сторонам AD и BC в нашем случае это не совсем боковые, а те, что вне центрального) связана с центральным. Давайте используем координатный метод или векторный, но для школьного уровня лучше геометрический. Рассмотрим сумму площадей треугольников AMB и CKD. S_AMB+S_CKD=1/2AB·h_M+1/2CD·h_K, где h_M — расстояние от M до AB, h_K — расстояние от K до CD. Так как M и K — середины сторон, то h_M является средней линией трапеции (если спроецировать на перпендикуляр к AB), образованной проекциями вершин D и C на прямую AB. То есть h_M=h_D+h_C/2, где h_D,h_C — расстояния от D и C до AB. Аналогично, h_K=h_A+h_B/2, где h_A,h_B — расстояния от A и B до CD. Тогда: S_AMB=1/2AB·h_D+h_C/2=1/4AB·h_D+1/4AB·h_C=1/2S_ABD+1/2S_ABC. (Здесь мы использовали, что S_ABD=1/2AB·h_D). Аналогично: S_CKD=1/2CD·h_A+h_B/2=1/2S_ACD+1/2S_BCD. Сложим эти два выражения: S_AMB+S_CKD=1/2(S_ABD+S_ABC+S_ACD+S_BCD). Заметим, что S_ABD+S_BCD=S_ABCD (диагональ BD делит четырёхугольник на два треугольника). И S_ABC+S_ACD=S_ABCD (диагональ AC делит четырёхугольник на два треугольника). Следовательно: S_AMB+S_CKD=1/2(S_ABCD+S_ABCD)=S_ABCD. Мы получили важное соотношение: сумма площадей треугольников AMB и CKD равна площади всего четырёхугольника ABCD .

Теперь разберём структуру этих треугольников внутри ABCD. Треугольник AMB состоит из трёх частей: треугольника ANB (часть при стороне AB?), нет, N лежит на MA. Давайте аккуратно определим области. Отрезки MA и MB ограничивают треугольник AMB. Внутри него находится часть центрального четырёхугольника KLMN и два треугольника AND и BLC? Нет, D и C снаружи. Давайте посмотрим на пересечение. S_AMB покрывает область, ограниченную AB, BM, MA. S_CKD покрывает область, ограниченную CD, DK, KC. Их объединение покрывает весь четырёхугольник ABCD, кроме того, они пересекаются в центральной части. Какая часть является их пересечением? Пересечение AMB и CKD — это именно тот четырёхугольник KLMN, который заключён между отрезками KD,KC,MA,MB. Проверим это. Вершина K принадлежит обоим треугольникам (K на границе AMB? Нет, K — середина AB, она является вершиной треугольника CKD, но лежит на основании AB треугольника AMB. Значит, K входит в AMB и в CKD). Вершина M аналогично. Точки L и N — пересечения сторон. Таким образом, S_AMB∩S_CKD=S_KLMN. По формуле включений-исключений для площадей: S_AMB+S_CKD=S_AMB∪CKD+S_AMB∩CKD. Так как S_AMB+S_CKD=S_ABCD, то: S_ABCD=S_AMB∪CKD+S_KLMN. Отсюда следует, что площадь объединения треугольников равна: S_AMB∪CKD=S_ABCD-S_KLMN. Что составляет объединение AMB∪CKD? Это весь четырёхугольник ABCD, за исключением тех частей, которые не покрыты ни одним из треугольников. Какие части не покрыты? Треугольник AMB не покрывает углы при D и C? Нет, он покрывает всё, кроме треугольников ADM и BCM? Не совсем. Давайте проще. Разобьём ABCD на непересекающиеся части. Части, входящие только в AMB: это AMBsetminusKLMN. Части, входящие только в CKD: это CKDsetminusKLMN. Части, входящие в оба: KLMN. Части, не входящие ни в один: ABCDsetminus(AMB∪CKD). Нам нужно найти площадь этих «непокрытых» частей и показать, что она равна S_AND+S_BLC? Или наоборот? В условии сказано: «площадь четырёхугольника... равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам AD и BC». Обычно под «прилежащими к сторонам AD и BC» в контексте таких задач понимают треугольники AND и BLC (где N и L — точки пересечения). Давайте проверим, являются ли AND и BLC непокрытыми частями. Треугольник AND имеет вершины A,N,D. Точка N лежит на MA. Значит, AND частично лежит в AMB? Нет, D не лежит в AMB. Отрезок AD — сторона четырёхугольника. Треугольник AND расположен у стороны AD. Он не входит в AMB (так как D вне его) и не входит в CKD (так как A вне его, кроме точки K?). Действительно, AMB ограничен лучами MA и MB. Область AND находится «слева» от MA. Она не входит в AMB. CKD ограничен лучами KD и KC. Область AND находится «снизу/слева» от KD? Точка A не входит в CKD (кроме границы K). Значит, AND не входит в CKD. Следовательно, AND — это часть ABCD, не покрытая ни AMB, ни CKD. Аналогично, треугольник BLC (вершины B,L,C) не входит в AMB (так как C вне) и не входит в CKD (так как B вне). Есть ли другие непокрытые части? Рассмотрим угол при D. Он разделен отрезком DK. Часть ADC? Нет. Давайте посчитаем площади непокрытых частей напрямую. Непокрытая часть U=ABCDsetminus(AMB∪CKD). Мы знаем, что S_AMB+S_CKD=S_ABCD. Также S_AMB+S_CKD=S_AMB∪CKD+S_KLMN. Значит, S_ABCD=S_AMB∪CKD+S_KLMN. Но S_AMB∪CKD=S_ABCD-S_U. Подставим: S_ABCD=(S_ABCD-S_U)+S_KLMN. Отсюда 0=-S_U+S_KLMN, то есть S_KLMN=S_U. То есть площадь центрального четырёхугольника равна площади непокрытой части. Теперь осталось убедиться, что непокрытая часть U состоит ровно из двух треугольников AND и BLC. Границы AMB: AB,BM,MA. Границы CKD: CD,DK,KC. Область U ограничена: 1. Стороной AD (внешняя граница). 2. Отрезком DN? Нет, N лежит на MA. Граница AMB со стороны D — это отрезок MA. Но D соединено с K. Граница CKD со стороны A — это отрезок KD. Пересечение MA и KD — это точка N. Значит, область, примыкающая к стороне AD, ограничена отрезками AD, AN (часть MA) и DN (часть KD)? Нет, N лежит на MA, значит AN — часть границы AMB. N также лежит на KD? Да, по определению N — пересечение KD и MA. Значит, DN — часть границы CKD. Таким образом, треугольник AND ограничен сторонами AD, AN (граница AMB) и DN (граница CKD). Эта область действительно не входит ни в AMB (так как лежит по ту сторону MA от B), ни в CKD (так как лежит по ту сторону KD от C). Аналогично для стороны BC. Пересечение MB и KC — точка L. Треугольник BLC ограничен BC, BL (граница AMB) и CL (граница CKD). Он не входит в AMB и CKD. Есть ли другие области? Углы при A и B покрыты AMB. Углы при C и D покрыты CKD. Центральный четырехугольник KLMN — это пересечение. Остались только два «кармана» у сторон AD и BC. Следовательно, S_U=S_AND+S_BLC. Итак, S_KLMN=S_AND+S_BLC. Что и требовалось доказать.

Проверка.

Логика построена на фундаментальном свойстве: сумма площадей треугольников, построенных на противоположных сторонах с вершинами в серединах других сторон, равна площади четырёхугольника. Это верно для любого выпуклого четырёхугольника. Далее использована формула включений-исключений для площадей. Геометрическая интерпретация непокрытых областей корректна: они соответствуют треугольникам, отсекаемым диагональными линиями от середин к вершинам. Результат согласуется с условием задачи.