ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 856: равнобедренный треугольник

План решения.

Для решения задачи воспользуемся методом площадей и свойствами параллельных прямых. Нам дано равенство площадей треугольников S_BDM=S_BCK. Ключевая идея указания состоит в том, чтобы перейти к треугольникам с общей вершиной D или C, используя тождественные преобразования площадей. Также важно учесть равнобедренность треугольника ADC (так как AD=AC) для связи углов.

Вычисление и доказательства.

1. Рассмотрим разность площадей. Вычтем из площади треугольника BDM площадь треугольника BDK и из площади треугольника BCK площадь треугольника BDK. Однако более удобный путь — рассмотреть треугольники CDM и CDK через призму общего основания или высот. Давайте выполним указание: докажем, что S_DCK=S_DCM. Заметим, что S_BDM=S_BDK+S_DKM (если точка K лежит между B и A, а луч BA направлен от B через A, то порядок точек на прямой AB: B,K,A,D? Нет, условие говорит "лучи BA и BC". Точка K на луче BA. Точка D на продолжении AB за A. Значит, порядок точек на прямой: B,A,D. Точка K может лежать на отрезке BA или за точкой A. Но так как мы работаем с площадями, будем считать ориентированные площади или просто геометрические фигуры. Рассмотрим треугольник DBC. Его площадь можно представить двумя способами: S_DBC=S_DBK+S_KBC (если K∈BD) Это не совсем верно, так как K на луче BA, а D на продолжении AB. Прямая BD совпадает с прямой AB. Треугольник BDM имеет основание BD и высоту из M к прямой BD. Треугольник BCK имеет основание BK (часть прямой BD) и высоту из C к прямой BD. Перейдем к доказательству равенства S_DCK=S_DCM. Имеем S_BDM=S_BCK. Выразим эти площади через треугольник DBC. S_BDM=S_DBC-S_DCM (предполагая, что M находится внутри угла DBC относительно высоты, или используя алгебру площадей). Более строго: Треугольники BDM и BCK имеют общую сторону BD? Нет. Давайте используем свойство: если две точки M и K таковы, что S_BDM=S_BCK, это сложно напрямую связать. Попробуем другой подход, следуя подсказке. Рассмотрим треугольники DCK и DCM. У них есть общая сторона DC. Если их площади равны, то высоты, опущенные из вершин K и M на прямую DC, равны. Это означает, что прямая KM параллельна прямой DC. Докажем, что S_DCK=S_DCM. Запишем площади через общий угол при вершине B? Нет, вершины разные. Воспользуемся тем, что S_BDM=S_BCK. Прибавим к обеим частям площадь треугольника CDK? Или вычтем? Рассмотрим треугольник DBC. Он состоит из треугольников DBK и KBC? Не обязательно. Давайте посмотрим на формулу площади треугольника S=1/2absinC. Пусть ∠ABC=β. Тогда ∠DBC=180^°-β (так как D,A,B на одной прямой, но D на продолжении AB за A, значит луч BD совпадает с лучом BA? Нет, D на продолжении AB за A. Порядок: B-A-D. Луч BA начинается в B и идет через A. Точка K на луче BA. Значит, K лежит на отрезке BD или за D? Обычно "на луче BA" подразумевает направление от B к A. Так как D дальше A, то K может быть где угодно на этом луче. Однако, обычно в таких задачах подразумевается, что K лежит на отрезке AB или около него. Вернемся к равенству площадей S_BDM=S_BCK. Выразим S_BDM как S_BDC-S_MDC? Это верно, если M лежит внутри треугольника BDC по высоте. Или S_BDM=S_BDC+S_MDC? Лучше использовать векторный метод или координаты, но школьное решение требует геометрии. Рассмотрим треугольник DBC. Площадь S_DBC фиксирована. S_BCK — часть этого треугольника? Нет, K на стороне BD (продолженной). Если мы вычтем из S_BDM площадь S_BDK, получим S_DKM? Нет. Следуем подсказке буквально: "доказать, что площади треугольников DCK и DCM равны". Как получить S_DCK из S_BCK? S_BCK=S_BDK+S_DCK? Это верно, если D лежит между B и K? Нет, порядок B,A,D. K на луче BA. Если K лежит на отрезке BA, то K между B и A, а A между K и D. Тогда K между B и D. В этом случае S_BCK=S_BDK-S_DCK? Нет, треугольники BCK и DCK имеют общую высоту из C к прямой BD. Их основания BK и KD. Сумма оснований BD=BK+KD. Значит, S_BCK+S_DCK=S_BCD. Аналогично для M: M на луче BC. Треугольник BDM имеет основание BD и высоту из M. Треугольник CDM имеет основание CD? Нет. Рассмотрим треугольник BDM. Основание BD. Высота h_M из M к BD. S_BDM=1/2BD·h_M. S_BCD=1/2BD·h_C, где h_C — высота из C к BD. Отношение S_BDM/S_BCD=h_M/h_C. Также h_M/h_C=BM/BC (подобие прямоугольных треугольников, образованных высотами и лучом BC). Значит, S_BDM=S_BCD·BM/BC. Теперь рассмотрим S_BCK. Основание BK на прямой BD. Высота из C та же h_C. S_BCK=1/2BK·h_C. S_BCD=1/2BD·h_C. Значит, S_BCK=S_BCD·BK/BD. По условию S_BDM=S_BCK. S_BCD·BM/BC=S_BCD·BK/BD Сокращаем S_BCD: BM/BC=BK/BD Это соотношение показывает, что треугольники BMK и BCD подобны? Нет, угол B общий, но стороны пропорциональны иначе: BM/BC=BK/BD. Это признак подобия треугольников BMK и BCD? Да, если бы было BM/BD=BK/BC. Здесь же перекрестное отношение. Перевернем: BM/BK=BC/BD. В треугольниках MBK и CBD угол B общий. Стороны вокруг угла пропорциональны: BM/BC=BK/BD. Следовательно, △MBK∼△CBD (с коэффициентом подобия k=BM/BC). Из подобия следует, что ∠BMK=∠BCD и ∠BKM=∠BDC. Нам нужно найти ∠BKM. Из подобия ∠BKM=∠BDC. Теперь найдем ∠BDC. Рассмотрим треугольник ADC. По условию AD=AC, значит он равнобедренный. Угол ∠DAC является внешним для треугольника ABC? Нет, D,A,B на одной прямой. ∠BAC=α. Тогда смежный с ним угол ∠CAD=180^°-α. В равнобедренном треугольнике ADC (AD=AC) углы при основании DC равны: ∠ADC=∠ACD=180^°-∠CAD/2=180^°-(180^°-α)/2=α/2 Так как точка D лежит на прямой AB, то угол ∠BDC совпадает с углом ∠ADC (или является его частью/смежным?). Порядок точек B-A-D. Луч DB проходит через A. Угол ∠BDC — это угол между прямой BD и отрезком DC. Так как A лежит на BD, то ∠BDC=∠ADC. Следовательно, ∠BDC=α/2. Так как △MBK∼△CBD, то соответственные углы равны: ∠BKM=∠BDC=α/2

Проверка.

Проверим логику. Мы использовали равенство площадей для вывода пропорциональности сторон BM/BC=BK/BD. Это привело к подобию треугольников MBK и CBD. Из подобия следует равенство углов ∠BKM и ∠BDC. Расчет угла ∠BDC через свойства равнобедренного треугольника ADC дает α/2. Все шаги логически связаны и соответствуют стандартным методам планиметрии. Подсказка про параллельность KM||DC также подтверждается: из подобия △MBK∼△CBD следует, что ∠BMK=∠BCD. Эти углы являются соответственными при секущей BC? Нет. Но если рассмотреть векторы или координаты, то из BM/BC=BK/BD следует, что MK параллельна CD только если треугольники расположены определенным образом. На самом деле, из BM/BC=BK/BD следует, что △BMK подобен △BCD с поворотом? Нет, они имеют общий угол B. Если BM/BC=BK/BD, то стороны, образующие угол B, пропорциональны. Значит, △BMK∼△BCD. Следовательно, ∠BKM=∠BDC. А параллельность KM||DC возникает, если ∠BKM=∠BDC и они являются накрест лежащими или соответственными? В данном случае K на BD, M на BC. Прямые KM и DC пересекают стороны угла B. Если △BMK∼△BCD, то KM не обязательно параллельна DC, если только порядок вершин не такой, что ∠BMK=∠BDC (что неверно, должно быть ∠BMK=∠BCD). Постойте. Подобие △BMK∼△BCD означает соответствие вершин: B→B, M→C, K→D. Тогда ∠BMK=∠BCD и ∠BKM=∠BDC. Параллельность KM||CD требовала бы равенства накрест лежащих углов при секущей BC или BD. Например, ∠MKB=∠CDB? Да, это верно из подобия. Но это углы при одной прямой BD. Это не дает параллельности KM и CD напрямую без дополнительных условий о расположении. Однако, если ∠BKM=∠BDC, то это углы, которые смотрят на одну сторону... На самом деле, подсказка "KM||DC" может быть альтернативным путем или следствием другого соотношения. Давайте проверим параллельность. Если KM||DC, то △BKM∼△BDC? Нет, тогда BK/BD=BM/BC. Именно это соотношение мы и получили! Да, если KM||DC, то по теореме Фалеса (или подобию треугольников BKM и BDC) выполняется BK/BD=BM/BC. Мы вывели это соотношение из равенства площадей. Значит, действительно, KM||DC. Если KM||DC, то угол ∠BKM равен углу ∠BDC как соответственные при параллельных прямых KM и DC и секущей BD. Мы нашли ∠BDC=α/2. Ответ совпадает.