ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 857: прямоугольный треугольник
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сергей Мишин, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Внутри прямоугольника ABCD взята точка M. Известно, что MB=a, MC=b и MD=c. Нужно найти длину отрезка MA.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этой задачи воспользуемся свойством прямоугольника и теоремой Пифагора. Нам даны расстояния от внутренней точки M до трёх вершин: MB=a, MC=b, MD=c. Требуется найти расстояние MA.
План решения:
- Проведём через точку M две прямые, параллельные сторонам прямоугольника ABCD. Эти прямые разобьют исходный прямоугольник на четыре меньших прямоугольника.
- Обозначим длины отрезков, на которые точка M делит эти вспомогательные линии, или просто рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные диагоналями этих малых прямоугольников (отрезками MA,MB,MC,MD).
- Запишем теорему Пифагора для каждого из четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузами которых являются отрезки MA,MB,MC,MD.
Вычисление:
Пусть стороны прямоугольника равны AD=BC=x и AB=CD=y. Проведённые через M перпендикуляры к сторонам образуют четыре прямоугольных треугольника с катетами, которые мы обозначим как x1,x2 (сумма которых равна x) и y1,y2 (сумма которых равна y).
Рассмотрим вершины по порядку A,B,C,D. Пусть проекция M на сторону AB делит её на отрезки длиной y1 (ближе к A) и y2 (ближе к B), а проекция на сторону AD делит её на отрезки x1 (ближе к A) и x2 (ближе к D). Тогда координаты вершин относительно точки M можно представить так, что квадраты расстояний равны сумме квадратов соответствующих катетов:
- MA2=x21+y21
- MB2=x21+y22=a2
- MC2=x22+y22=b2
- MD2=x22+y21=c2
Нам нужно выразить MA2. Заметим интересную закономерность: если сложить квадраты расстояний до противоположных вершин, то получим одинаковый результат:
MA2+MC2=(x21+y21)+(x22+y22)=x21+x22+y21+y22MB2+MD2=(x21+y22)+(x22+y21)=x21+x22+y21+y22
Следовательно, верно равенство:
MA2+MC2=MB2+MD2Подставим известные значения MB=a,MC=b,MD=c:
MA2+b2=a2+c2Выразим MA2:
MA2=a2+c2-b2Так как длина отрезка положительна, извлекаем квадратный корень:
MA=a2+c2-b2Проверка:
Если точка M совпадает с центром прямоугольника, то MA=MB=MC=MD. В этом случае формула даёт a2+a2-a2=a2=a, что верно. Если точка M находится очень близко к вершине C, то b≈0, a≈BC, c≈CD, а MA≈AC. Формула даст BC2+CD2, что является длиной диагонали AC, что также верно. Логика непротиворечива.
MA=a2+c2-b2
Использовано свойство суммы квадратов расстояний от произвольной точки до противоположных вершин прямоугольника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 857 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 857?
Краткий ответ: MA = a^2 + c^2 - b^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи к главе VIII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.