ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 861

План решения.

Для доказательства равенства отрезков BD и CE воспользуемся свойством параллельных прямых и теоремой о биссектрисе. Введём обозначения: пусть AK — биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. По условию прямая DE проходит через середину M стороны BC и параллельна AK. Нам нужно связать длины отрезков на сторонах треугольника с положением точек D и E относительно вершин B и C.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим треугольник ABK. Прямая DM параллельна стороне AK (так как DE∥AK) и пересекает продолжение стороны BK в точке M и сторону AB в точке D. Однако удобнее рассмотреть подобие или пропорциональность отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на секущих.

Воспользуемся теоремой Фалеса (или свойством параллельных прямых, отсекающих пропорциональные отрезки на секущих). Рассмотрим угол B. Прямые AK и DM параллельны. Они пересекают стороны угла B (прямую BA и прямую BC). Но точка M лежит на прямой BC, а K тоже на прямой BC. Это не совсем стандартная конфигурация для прямого применения к углу B, так как D лежит на AB, а M на BC. Давайте посмотрим на треугольник ABC целиком.

Пусть AC>AB. Тогда по теореме о биссектрисе CK>BK. Так как M — середина BC, то BM=MC. Поскольку CK>BK, точка K ближе к B, чем к C? Нет, CK/BK=AC/AB>1, значит CK>BK. Точка K делит BC в отношении AC:AB. Если AC>AB, то K находится ближе к B? Проверим: BK=c/b+ca, CK=b/b+ca. Если b>c, то CK>BK. Значит, K ближе к B? Нет, если CK больше, то расстояние от C до K больше, чем от B до K. Значит, K ближе к B. А M — середина. Следовательно, порядок точек на отрезке BC: B,K,M,C.

Теперь рассмотрим треугольник ACK. Прямая ME параллельна AK (E лежит на AC, M на BC). По теореме Фалеса для угла C: CE/EA=CM/MK Заметим, что CM=a/2, а MK=CK-CM=ab/b+c-a/2=a(2b-(b+c)/2(b+c))=a(b-c)/2(b+c). Тогда CE/EA=a/2/a(b-c)/2(b+c)=b+c/b-c. Отсюда можно выразить CE. Так как CE+EA=b, то EA=b-CE. Подставим: CE/b-CE=b+c/b-c⇒CE(b-c)=(b-CE)(b+c)⇒CE(b-c)=b²+bc-CE(b+c)⇒CE(b-c+b+c)=b(b+c)⇒CE(2b)=b(b+c)⇒CE=b+c/2.Аналогично рассмотрим треугольник ABK. Прямая MD параллельна AK (D лежит на AB, M на BC). Для угла B: BD/DA=BM/MK′ где K′ — проекция? Нет, просто отношение отрезков на стороне BC. Здесь нужно быть аккуратным с направлением. Точки B,K,M. BM=a/2. BK=ac/b+c. KM=BM-BK=a/2-ac/b+c=ab+c-2c/2(b+c)=a(b-c)/2(b+c). Обратите внимание, что длина KM та же самая, что и выше (так как |CK-CM|=|CM-BK| при симметрии выражений, но здесь важно, что M дальше от B, чем K).По теореме Фалеса для угла B (рассматриваем треугольник ABK и параллельную DM): BD/DA=BM/MK. Подставляем значения: BM=a/2, MK=a(b-c)/2(b+c). BD/DA=a/2/a(b-c)/2(b+c)=b+c/b-c. Так как BD+DA=c, то DA=c-BD. BD/c-BD=b+c/b-c⇒BD(b-c)=(c-BD)(b+c)⇒BD(b-c)=cb+c²-BD(b+c)⇒BD(b-c+b+c)=c(b+c)⇒BD(2b)=c(b+c)⇒BD=c(b+c)/2b.

Сравним полученные выражения. Мы нашли CE=b+c/2 и BD=c(b+c)/2b. Эти величины не равны в общем случае. Где ошибка?

Ошибка в применении теоремы Фалеса к треугольнику ABK. Прямая DM параллельна AK. Она пересекает AB в D и BC в M. Треугольник DBM подобен треугольнику ABK? Нет, они имеют общий угол B, и DM∥AK. Значит, △DBM∼△ABK. Из подобия следует: BD/BA=BM/BK. Отсюда BD=BA·BM/BK=c·a/2/ac/b+c=c·a/2·b+c/ac=b+c/2.

Теперь проверим вторую часть. Треугольник ECM подобен треугольнику ACK? Угол C общий, EM∥AK. Да, △ECM∼△ACK. Из подобия следует: CE/CA=CM/CK. Отсюда CE=CA·CM/CK=b·a/2/ab/b+c=b·a/2·b+c/ab=b+c/2.

Таким образом, мы получили, что BD=b+c/2 и CE=b+c/2.

Проверка.

Мы использовали свойства подобных треугольников, образованных параллельной биссектрисе линией. Результат показывает, что оба отрезка равны полусумме сторон AB и AC. Это известное геометрическое свойство: если через середину основания провести прямую, параллельную биссектрисе вертикального угла, то она отсекает на боковых сторонах (или их продолжениях) отрезки, равные полусумме этих сторон. Равенство BD=CE доказано.