ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 858: прямоугольный треугольник

План решения.

Для доказательства равенства отрезков MB и KB воспользуемся теоремой Пифагора. Нам нужно выразить длины этих отрезков через стороны треугольника ABC (AB=c, BC=a) и высоту BD=h. Заметим, что треугольники KAB и MCB являются прямоугольными по условию задачи (так как KA⊥AB и CM⊥BC). Гипотенузы этих треугольников — это искомые отрезки KB и MB. Для их нахождения нам понадобятся катеты: один из них известен или выражен через данные задачи, а второй можно найти из прямоугольных треугольников ABD и CBD.

Вычисление.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (угол ADB=90^°, так как BD — высота). По теореме Пифагора: AD²+BD²=AB² Отсюда выразим квадрат катета AD: AD²=AB²-BD²=c²-h²

2. Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник CBD (угол CDB=90^°). По теореме Пифагора: CD²+BD²=BC² Отсюда выразим квадрат катета CD: CD²=BC²-BD²=a²-h²

3. Теперь перейдем к треугольнику KAB. По условию KA⊥AB, значит, △KAB — прямоугольный с прямым углом при вершине A. Его гипотенуза — KB. Катеты: AB=c и KA. По условию KA=AD, следовательно, KA²=AD²=c²-h². Применим теорему Пифагора для △KAB: KB²=AB²+KA² Подставим известные значения: KB²=c²+(c²-h²)=2c²-h² Тогда длина отрезка KB равна: KB=2c²-h²

4. Рассмотрим треугольник MCB. По условию CM⊥BC, значит, △MCB — прямоугольный с прямым углом при вершине C. Его гипотенуза — MB. Катеты: BC=a и CM. По условию CM=AD, следовательно, CM²=AD²=c²-h². Применим теорему Пифагора для △MCB: MB²=BC²+CM² Подставим известные значения: MB²=a²+(c²-h²)=a²+c²-h² Тогда длина отрезка MB равна: MB=a²+c²-h²

Примечание: В условии ключа указано доказательство равенства MB=KB=a²+c²-h². Однако в моём выводе KB=2c²-h², а MB=a²+c²-h². Эти выражения равны только если a=c (треугольник равнобедренный). Проверим условие задачи ещё раз. Обычно в таких задачах подразумевается симметрия или дополнительные условия. Если же опираться строго на текст «Доказать, что MB=KB», то это верно лишь для равнобедренного треугольника ABC (AB=BC). Но давайте внимательно перечитаем указание к задаче: «Используя теорему Пифагора, доказать, что MB=KB=a²+c²-h²». Это указание содержит внутреннее противоречие с общим случаем произвольного треугольника, если не дано дополнительных условий на a и c. Тем не менее, стандартная формулировка подобных задач часто предполагает, что KA=CD и CM=AD или другие комбинации.
Пересмотрим условие: KA=AD и CM=AD. Значит KA=CM.
Если бы было KA=CD и CM=AD, то:
KB²=c²+CD²=c²+a²-h².
MB²=a²+AD²=a²+c²-h².
Тогда KB=MB.
В данном же условии оба внешних катета равны AD. Тогда равенство MB=KB выполняется только при AB=BC. Скорее всего, в условии учебника есть опечатка или неявное предположение о равнобедренности, либо в указании ошибка. Однако, следуя логике геометрических задач такого типа, наиболее вероятным замыслом автора является ситуация, когда внешние катеты «перекрестно» связаны с проекциями высоты. Но мы решаем строго по тексту.

Давайте проверим вариант, где в условии могло быть KA=CD? Нет, написано KA=AD.
Проверим вариант, где нужно доказать равенство квадратов?
Если принять за истину указание ответа, то там предполагается результат a²+c²-h². Это значение получается для MB. Для KB оно получится, если KA²=a²-h²=CD². То есть если бы KA=CD.
Вероятно, в оригинальной задаче или в указании допущена неточность. Но так как я должен дать решение, которое ведет к ответу, указанному в ключе (или объясняет расхождение), я покажу вычисления для обоих случаев.

Однако, есть другой подход. Может быть, точка K строится иначе? Нет, «Отрезок KA перпендикулярен AB».
Будем считать, что задача корректна для частного случая или в условии опечатка (вместо KA=AD должно быть KA=CD). Но я обязан решать по данному тексту.
По данному тексту: KB=2c²-h², MB=a²+c²-h². Равенство MB=KB эквивалентно a²+c²-h²=2c²-h²⇒a²=c²⇒a=c.
Таким образом, утверждение верно только для равнобедренного треугольника.

Но посмотрим на указание снова: «доказать, что MB=KB=a²+c²-h²». Это прямое указание на то, что автор ожидает именно этот корень для обоих отрезков. Это возможно только если KA²=CD². То есть KA=CD. А в условии сказано KA=AD.
Скорее всего, в условии задачи №858 в некоторых изданиях действительно KA=CD и CM=AD (или наоборот). Или же KA=AD и CM=CD.
Если CM=CD, то MB²=a²+CD²=a²+a²-h²=2a²-h². И тогда равенство будет при a=c.

Чтобы дать полезное решение ученику, я проведу вычисления согласно тексту условия, но отмечу, что равенство следует из указания только при определенном соотношении сторон, либо укажу на возможную опечатку в условии относительно равенства катетов. Однако, правила говорят «не упоминай опечатки учебника... во внутренних сомнениях». Но здесь сомнение в самом факте равенства.
Давайте попробуем другой путь. Возможно, я неверно интерпретирую «высота BD». Нет, всё стандартно.

Решение по строгому тексту:
1. Из △ABD: AD²=c²-h².
2. Из △CBD: CD²=a²-h².
3. △KAB: KB²=AB²+KA²=c²+AD²=c²+c²-h²=2c²-h².
4. △MCB: MB²=BC²+CM²=a²+AD²=a²+c²-h².
5. Утверждение MB=KB требует 2c²-h²=a²+c²-h²⇒c²=a²⇒c=a.

Если задача предполагает общий случай, то условие KA=AD скорее всего должно быть KA=CD. Если заменить KA на CD, то KB²=c²+CD²=c²+a²-h², и тогда KB=MB. Учитывая, что ключ дает ответ a²+c²-h² для обоих, будем исходить из того, что в решении необходимо получить этот результат. Наиболее вероятная «правильная» трактовка для получения ответа из ключа — это использование свойств, приводящих к симметрии выражений. Я представлю решение, показывающее вычисление длин, и в конце сделаю вывод о равенстве, опираясь на то, что в контексте данной главы (возможно, ранее была задача про равнобедренный треугольник или это частный случай). Но лучше всего показать алгебраическое равенство, если предположить, что в условии имелось в виду KA=CD (что часто бывает в таких парах задач).

Нет, правило: «считай строго по нему». Строго по нему они не равны. Но правило также: «ключ ... ориентир». Если числа дают другой результат, пиши свой. Но здесь нет чисел. Есть символические величины.
Я напишу решение, которое выводит формулы для KB и MB. И затем, чтобы соответствовать духу задания «доказать равенство», я покажу, что равенство достигается, если AB=BC. Если же следовать подсказке ключа буквально, то там ошибка в условии задачи (должно быть KA=CD). Я не могу писать об опечатках.
Как поступить? Я могу решить задачу для случая, когда KA=CD и CM=AD (классическая задача), но условие говорит KA=AD.
Давайте посмотрим на пункт «Объяснительные заметки». Там можно указать нюанс. В решении же я проведу вычисления строго по тексту. И в заключении скажу, что равенство MB=KB имеет место при AB=BC.

Однако, часто в школьных задачах под «доказать» подразумевается, что это верно всегда. Если это верно всегда, значит я ошибся в геометрии? Нет, пифагор прост.
Может быть, K и M лежат на одной прямой? Нет.
Ладно, я дам решение, вычисляющее квадраты длин. И в конце запишу, что согласно указанию, требуется получить выражение a²+c²-h². Это выражение совпадает с MB. Для KB оно совпадет, если KA²=CD². Поскольку в условии KA=AD, то равенство KB=MB справедливо, если AD=CD, т.е. треугольник равнобедренный.
Я оформлю решение так, чтобы показать метод.