ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 859: прямоугольный треугольник

План решения.

Для доказательства равенства OA²+OB²=5OC² воспользуемся методом координат или геометрическими построениями. Согласно указанию, проведём перпендикуляры из точки O к катетам треугольника ABC. Пусть OM⊥AC и ON⊥BC. Так как площади треугольников OAB, OAC и OBC равны, точка O является центроидом (центром тяжести) треугольника ABC. Это ключевое свойство позволит нам найти длины отрезков OM и ON через стороны треугольника.

Вычисление.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника: AC=b, BC=a. Площадь всего треугольника S_ABC=1/2ab. По условию S_OAC=S_OBC=S_OAB=1/3S_ABC=1/6ab. Рассмотрим треугольник OAC. Его основание — катет AC=b, а высота, опущенная на это основание, есть расстояние от точки O до прямой AC, то есть длина отрезка OM. S_OAC=1/2·AC·OM=1/2b·OM Приравниваем площади: 1/2b·OM=1/6abimpliesOM=1/3a=1/3BC Аналогично для треугольника OBC. Основание BC=a, высота — отрезок ON (расстояние от O до BC). S_OBC=1/2·BC·ON=1/2a·ON 1/2a·ON=1/6abimpliesON=1/3b=1/3AC Теперь найдём квадраты расстояний от точки O до вершин, используя теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках, образованных перпендикулярами. Введём систему координат с началом в точке C(0;0), осью x вдоль CB и осью y вдоль CA. Тогда координаты точки O будут (ON;OM)=(b/3;a/3). Координаты вершин: C(0;0), A(0;b), B(a;0). 1. Вычислим OC²: OC²=x2O+y2O=(b/3)²+(a/3)²=b²+a²/9 2. Вычислим OA²: OA²=(x_O-x_A)²+(y_O-y_A)²=(b/3-0)²+(a/3-b)²=b²/9+(a-3b/3)²=b²+a²-6ab+9b²/9=a²+10b²-6ab/9 *Примечание: Проще использовать геометрию. В △AOM: AM=AC-MC=b-OM? Нет, M лежит на AC. Координата M по оси y равна OM=a/3? Нет, OM параллельна BC (оси x), значит M имеет координату y=a/3? Проверим: OM⊥AC. AC лежит на оси y. Значит OM горизонтален. Длина OM=x_O=b/3. Высота M над C равна y_O=a/3. Тогда CM=a/3. AM=|b-a/3|. Давайте пересчитаем аккуратно через проекции. OM=1/3BC=a/3 (это горизонтальное расстояние от оси y). ON=1/3AC=b/3 (это вертикальное расстояние от оси x). Координаты O: (a/3,b/3)? Нет. Если C=(0,0), B=(a,0), A=(0,b). Расстояние от O до AC (ось y) равно абсциссе x_O. Мы нашли OM=a/3. Значит x_O=a/3. Расстояние от O до BC (ось x) равно ординате y_O. Мы нашли ON=b/3. Значит y_O=b/3. Итак, O(a/3,b/3). Пересчёт квадратов: OC²=(a/3)²+(b/3)²=a²+b²/9 OA²=(a/3-0)²+(b/3-b)²=a²/9+(-2b/3)²=a²/9+4b²/9=a²+4b²/9 OB²=(a/3-a)²+(b/3-0)²=(-2a/3)²+b²/9=4a²/9+b²/9=4a²+b²/9 Сумма OA²+OB²: OA²+OB²=a²+4b²/9+4a²+b²/9=5a²+5b²/9=5·a²+b²/9 Так как OC²=a²+b²/9, то: OA²+OB²=5OC²

Проверка.

Мы использовали факт, что точка с равными площадями подтреугольников является центроидом. Для центроида известно, что он делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Расстояния от центроида до сторон действительно составляют 1/3 соответствующих высот (или катетов в данном случае). Алгебраические преобразования подтверждают требуемое тождество. Равенство выполнено.