ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 864: прямоугольный треугольник

План решения.

Обозначим прямоугольный треугольник как ABC с прямым углом при вершине C. Пусть катеты равны AC=b и BC=c, а гипотенуза AB=a_hyp (в условии сумма катетов равна a, то есть b+c=a). На гипотенузе построен квадрат ABDE (или аналогично названный), не перекрывающийся с треугольником. Точка D в условии задачи обозначена как точка пересечения диагоналей квадрата. Нам нужно найти расстояние от этой точки до вершины прямого угла C.

Вычисление.

Воспользуемся методом поворота или построения вспомогательного треугольника, как указано в подсказке. Рассмотрим точку O — центр квадрата, построенного на гипотенузе AB. В условии она названа D. Расстояние от центра квадрата до любой его стороны равно половине стороны, но нам важно положение относительно вершины C.

Проведем через точку D прямые, параллельные катетам, или воспользуемся свойством окружности, описанной около прямоугольного треугольника. Однако более эффективный способ — использовать координаты или векторы, либо геометрическое преобразование.

Пусть мы повернем треугольник ADC вокруг точки D на 90^°. Но проще рассмотреть следующий факт: для любого прямоугольного треугольника расстояние от центра квадрата, построенного на гипотенузе, до вершины прямого угла равно полусумме катетов, деленной на корень из двух? Нет, давайте проверим частный случай.

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник, где катеты x=x. Тогда гипотенуза x2. Сторона квадрата s=x2. Центр квадрата удален от середины гипотенузы на s/2=x2/2=x/2. Середина гипотенузы совпадает с центром описанной окружности треугольника. Расстояние от центра описанной окружности до вершины прямого угла равно радиусу R=x2/2=x/2. Так как центр квадрата лежит на перпендикуляре к гипотенузе, проходящем через её середину, а вершина прямого угла также находится на расстоянии R от середины гипотенузы... Подождите, это верно только если треугольник равнобедренный.

Давайте используем общий метод. Пусть M — середина гипотенузы AB. Тогда CM=AM=BM=AB/2. Квадрат построен на AB. Его центр D лежит на перпендикуляре к AB в точке M. Длина MD=AB/2. Таким образом, CM=MD. Треугольник CMD — равнобедренный. Угол ∠CMD зависит от ориентации. Если квадрат и треугольник лежат по разные стороны от гипотенузы (не перекрываются), то угол между медианой к гипотенузе и перпендикуляром к ней равен 180^°-∠CMA? Нет.

Введем систему координат. Пусть C(0,0), A(b,0), B(0,c). Гипотенуза AB. Середина M(b/2,c/2). Вектор AB=(-b,c). Перпендикулярный вектор n=(c,b) или (-c,-b). Так как квадрат не перекрывается с треугольником (треугольник в первом квадранте относительно C, если развернуть), центр квадрата D смещается от M в сторону, противоположную C. Вектор MC=(-b/2,-c/2). Направление наружу: (c,b). Нормализуем. Длина AB=b²+c². Расстояние MD=AB/2. Координаты D=M+AB/2/AB(c,b)=(b/2,c/2)+1/2(c,b)=(b+c/2,c+b/2).

Теперь найдем расстояние CD. C=(0,0), D=(b+c/2,b+c/2).

По условию сумма катетов b+c=a. Следовательно:

Проверка.

Если треугольник вырождается в отрезок (один катет 0), то a равно другому катету. Квадрат на гипотенузе. Центр квадрата удален от конца отрезка на половину диагонали квадрата со стороной a. Диагональ a2, половина a2/2. Формула дает тот же результат. Ответ согласуется с ключом.