ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 865: подобие треугольников

План решения:

1. Вычислим все углы треугольника ABC и установим соотношения между ними. 2. Используем подсказку: проведём биссектрисы BD (к стороне AC) и CE (к стороне AB). 3. Докажем подобие треугольников △ABC∼△BDC и △ABC∼△ACE. 4. Из записей подобия выразим отрезки BC, AC и AB через стороны меньших треугольников и алгебраически получим требуемое равенство.

Вычисление и доказательства:

Найдём угол C. Сумма углов треугольника равна 180^°: ∠C=180^°-∠A-∠B=180^°-180^°/7-360^°/7=1260^°-180^°-360^°/7=720^°/7 Обозначим α=180^°/7. Тогда: ∠A=α, ∠B=2α, ∠C=4α. Заметим, что ∠C=2∠B и ∠B=2∠A.

Рассмотрим биссектрису BD угла B. Так как ∠B=2α, то ∠ABD=∠DBC=α. В треугольнике BDC углы равны: ∠DBC=α и ∠C=4α. Третий угол ∠BDC=180^°-α-4α=180^°-5α. Сравним △ABC и △BDC: ∠C — общий. ∠A=α и ∠DBC=α, значит ∠A=∠DBC. Следовательно, △ABC∼△BDC по двум углам. Из подобия следует пропорция сторон: AC/BC=BC/DC=AB/BD Отсюда выражаем BC²=AC·DC, или DC=BC²/AC.

Теперь рассмотрим биссектрису CE угла C. Так как ∠C=4α, то ∠ACE=∠ECB=2α. В треугольнике ACE углы равны: ∠A=α и ∠ACE=2α. Третий угол ∠AEC=180^°-3α. Сравним △ABC и △ACE: ∠A — общий. ∠B=2α и ∠ACE=2α, значит ∠B=∠ACE. Следовательно, △ABC∼△ACE по двум углам. Из подобия следует пропорция сторон: AB/AC=AC/AE=BC/CE Отсюда выражаем AC²=AB·AE, или AE=AC²/AB.

Вернёмся к первому подобию △ABC∼△BDC. Запишем отношение соответствующих сторон: AB/BD=BC/DC=AC/BC Также заметим, что в △ABD угол ∠ABD=α и ∠A=α, значит △ABD — равнобедренный с основанием AD. Следовательно, BD=AD. Так как D лежит на AC, то AD+DC=AC. Подставим BD вместо AD: BD+DC=AC. Из пропорции BC/DC=AC/BC имеем DC=BC²/AC. Из пропорции AB/BD=AC/BC имеем BD=AB·BC/AC. Подставим эти выражения в равенство BD+DC=AC: AB·BC/AC+BC²/AC=AC Умножим обе части на AC: AB·BC+BC²=AC² Разделим всё уравнение на произведение AB·AC·BC: AB·BC/AB·AC·BC+BC²/AB·AC·BC=AC²/AB·AC·BC 1/AC+BC/AB·AC=AC/AB·BC Это выглядит сложно. Попробуем другой путь из второго подобия. Из △ABC∼△ACE: BC/CE=AC/AE=AB/AC. В △BCE угол ∠EBC=2α, ∠ECB=2α, значит △BCE равнобедренный (BE=CE). AE+EB=AB⇒AE+CE=AB. Из подобия AC/AE=AB/AC⇒AE=AC²/AB. Из подобия BC/CE=AB/AC⇒CE=AC·BC/AB. Подставляем в AE+CE=AB: AC²/AB+AC·BC/AB=AB Умножаем на AB: AC²+AC·BC=AB² Это тоже не даёт сразу нужного вида. Вернёмся к классическому доказательству для таких углов (π/7,2π/7,4π/7).

Используем свойство биссектрисы BD в △ABC. По теореме о биссектрисе: AD/DC=AB/BC Так как △ABD равнобедренный (AD=BD), а из подобия △ABC∼△BDC следует BD/AB=BC/AC⇒BD=AB·BC/AC. Значит AD=AB·BC/AC. Тогда DC=AC-AD=AC-AB·BC/AC=AC²-AB·BC/AC. Подставим в пропорцию биссектрисы: AB·BC/AC/AC²-AB·BC/AC=AB/BC AB·BC/AC²-AB·BC=AB/BC Сокращаем AB (так как AB≠0): BC/AC²-AB·BC=1/BC BC²=AC²-AB·BC AB·BC+BC²=AC² Это совпадает с предыдущим выводом. Разделим это равенство на AB·AC·BC: AB·BC/AB·AC·BC+BC²/AB·AC·BC=AC²/AB·AC·BC 1/AC+BC/AB·AC=AC/AB·BC Здесь мы зашли в тупик с алгеброй. Давайте используем более прямой метод, известный для этого конкретного случая.

Известно, что для углов π/7,2π/7,4π/7 выполняется соотношение a^-1=b^-1+c^-1, где a,b,c — стороны против этих углов. В нашем случае: сторона против ∠A — это BC (обозначим a). Сторона против ∠B — это AC (обозначим b). Сторона против ∠C — это AB (обозначим c). Нужно доказать: 1/a=1/b+1/c, то есть 1/BC=1/AC+1/AB.

Докажем через синусовую теорему. По теореме синусов: BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC=2R Тогда BC=2RsinA, AC=2RsinB, AB=2RsinC. Требуемое равенство принимает вид: 1/2RsinA=1/2RsinB+1/2RsinC Сокращаем 2R: 1/sinA=1/sinB+1/sinC Подставляем значения углов: A=α, B=2α, C=4α, где α=180^°/7. Нужно проверить верность тождества: 1/sinα=1/sin2α+1/sin4α Приведём правую часть к общему знаменателю: sin4α+sin2α/sin2αsin4α Используем формулу суммы синусов sinx+siny=2sinx+y/2cosx-y/2: sin4α+sin2α=2sin3αcosα Знаменатель: sin2αsin4α. Используем формулу 2sinxsiny=cos(x-y)-cos(x+y): 2sin2αsin4α=cos2α-cos6α Но проще заметить, что так как 7α=180^°, то sin3α=sin(180^°-4α)=sin4α. А также sin6α=sin(180^°-α)=sinα. Давайте преобразуем исходное уравнение умножением на sinαsin2αsin4α: sin2αsin4α=sinαsin4α+sinαsin2α Левая часть: sin2αsin4α=2sinαcosαsin4α. Получаем: 2sinαcosαsin4α=sinα(sin4α+sin2α) Делим на sinα (он не равен 0): 2cosαsin4α=sin4α+sin2α Правая часть: sin4α+sin2α=2sin3αcosα. Так как 3α=180^°-4α, то sin3α=sin4α. Значит, правая часть равна 2sin4αcosα. Левая часть равна 2cosαsin4α. Тождество верно!

Проверка:

Мы показали, что тригонометрическое тождество 1/sinA=1/sinB+1/sinC истинно для заданных углов. Поскольку стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, то и обратные величины сторон удовлетворяют тому же линейному соотношению. Таким образом, утверждение 1/BC=1/AC+1/AB доказано.