ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 866: векторы

План решения.

Для доказательства того, что RS⊥OM, мы воспользуемся методом координат или векторов, так как геометрическое решение с подобием треугольников (как указано в подсказке) требует введения дополнительных точек пересечения и может быть громоздким. Однако, чтобы соответствовать школьной программе геометрии 8–9 классов, где активно изучаются свойства прямоугольных треугольников и окружностей, рассмотрим более элементарный подход через свойства проекций и подобия.

Заметим, что точки P и Q являются основаниями перпендикуляров из точки M. Треугольники OMP и OMQ — прямоугольные с общей гипотенузой OM. Это означает, что точки O,P,M,Q лежат на одной окружности с диаметром OM. Центр этой окружности лежит на середине отрезка OM.

Вычисление и доказательство.

Введем систему координат для строгости рассуждений, хотя это можно сделать и чисто геометрически. Пусть вершина угла O находится в начале координат (0;0). Направим биссектрису угла AOB по оси OX. Тогда стороны OA и OB симметричны относительно оси X. Пусть угол AOB=2α. Уравнения прямых OA и OB: y=xtanα и y=-xtanα (или аналогично, если ось направлена иначе). Для простоты пусть OA совпадает с осью OX, а OB составляет угол β с ней. Но лучше использовать векторный метод без привязки к осям.

Рассмотрим векторы. Пусть OM=m. Так как MP⊥OA, то OP — это проекция вектора OM на направление OA. Аналогично, OQ — проекция OM на направление OB.

Точка R получена опусканием перпендикуляра из P на OB. Значит, OR — это проекция вектора OP на направление OB. Точка S получена опусканием перпендикуляра из Q на OA. Значит, OS — это проекция вектора OQ на направление OA.

Нам нужно доказать, что вектор RS перпендикулярен вектору OM. То есть скалярное произведение RS·OM=0.

Запишем RS=OS-OR.

Пусть единичные векторы направлений сторон OA и OB равны u и v соответственно. Тогда:

• OP=(m·u)u
• OQ=(m·v)v
• OR является проекцией OP на v: OR=(OP·v)v=((m·u)u·v)v=(m·u)(u·v)v
• OS является проекцией OQ на u: OS=(OQ·u)u=((m·v)v·u)u=(m·v)(v·u)u

Обозначим скалярное произведение u·v=k (это косинус угла между сторонами). Тогда:

Вычислим скалярное произведение RS·m:

Подставим выражения для OS и OR:

Так как скалярное произведение коммутативно (a·b=b·a), то оба выражения идентичны:

Следовательно, их разность равна нулю:

Это означает, что вектор RS перпендикулярен вектору OM, то есть RS⊥OM.

Проверка.

Рассмотрим частный случай: пусть угол AOB прямой (90^°). Тогда стороны OA и OB перпендикулярны. Пусть M имеет координаты (x_0,y₀) в системе, где OA — ось X, OB — ось Y. - P — проекция M на OA: P(x_0,0). - Q — проекция M на OB: Q(0,y₀). - R — проекция P на OB (ось Y): R(0,0), так как P лежит на оси X, а перпендикуляр к оси Y из точки на оси X идет в начало координат? Нет, перпендикуляр из P(x₀,0) к оси Y — это горизонтальная линия y=0, она пересекает ось Y в точке (0,0). Значит R=O. - S — проекция Q на OA (ось X): аналогично, вертикальная линия x=0 пересекает ось X в (0,0). Значит S=O. В этом вырожденном случае R=S=O, отрезок RS — точка. Перпендикулярность не определена стандартно, но предельный переход показывает корректность формул. Возьмем не прямой угол. Пусть OA и OB образуют угол 60^°. Пусть OM — биссектриса. Тогда фигура симметрична относительно OM. Точки P и Q симметричны. Отрезки PR и QS также симметричны. Следовательно, отрезок RS перпендикулярен оси симметрии OM. Это подтверждает общий вывод.