ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 870: векторы

План решения.

Для доказательства существования точек N, P и Q воспользуемся методом векторов или координатной геометрией. Пусть нам дан параллелограмм ABCD и произвольная точка M. Нам нужно найти такие точки N,P,Q, чтобы вершины параллелограмма были серединами соответствующих отрезков: A — середина MN, B — середина NP, C — середина PQ, D — середина QM. Мы будем последовательно находить координаты (или радиус-векторы) этих точек, начиная с известной точки M.

Вычисление и доказательство.

Введем обозначения для радиус-векторов точек относительно некоторого начала координат O: m,n,p,q для точек M,N,P,Q соответственно, и a,b,c,d для вершин параллелограмма A,B,C,D.

1. Так как A является серединой отрезка MN, то по формуле середины отрезка справедливо равенство: a=m+n/2 Отсюда выразим вектор n: n=2a-m Это означает, что точка N однозначно определяется точками M и A как симметричная точке M относительно центра A.

2. Далее, так как B является серединой отрезка NP, имеем: b=n+p/2 Подставим найденное выражение для n: b=(2a-m)+p/2 Выразим p: 2b=2a-m+pimpliesp=2b-2a+m Точка P также однозначно существует.

3. Теперь проверим условия для остальных двух сторон. По условию задачи C должна быть серединой PQ, а D — серединой QM. Найдем вектор q из условия, что D — середина QM: d=q+m/2impliesq=2d-m Осталось проверить, выполняется ли условие того, что C является серединой отрезка PQ при полученных значениях p и q.

Середина отрезка PQ имеет радиус-вектор: s_PQ=p+q/2 Подставим выражения для p и q: s_PQ=(2b-2a+m)+(2d-m)/2=2b-2a+2d/2=b-a+d Так как ABCD — параллелограмм, то векторы противоположных сторон равны: BC=AD. В терминах радиус-векторов это записывается как c-b=d-a, откуда следует: c=b+d-a Сравнивая полученное выражение для середины PQ (b-a+d) с выражением для вектора c, видим, что они идентичны:

Проверка и вывод.

Мы построили точки N,P,Q последовательно через центральную симметрию относительно вершин параллелограмма. Точки существуют всегда, независимо от положения точки M (главное, чтобы она не лежала на сторонах, но даже если бы лежала, алгебраические соотношения сохранялись бы, просто конфигурация могла бы вырождаться). Поскольку все четыре условия на середины выполнены одновременно, утверждение доказано.