ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 871: неравенства

План доказательства.

Для решения задачи воспользуемся методом вспомогательной точки (симметрией). Нам нужно связать длины противоположных сторон AB и CD с отрезком MN, соединяющим середины других сторон AD и BC. Для этого построим точку, симметричную одной из вершин относительно середины стороны, и рассмотрим треугольник, образованный этой точкой и другими вершинами. Затем применим неравенство треугольника.

Ход решения.

1. Пусть дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Обозначим середины сторон AD и BC как M и N соответственно. Отрезок MN — это то, что нам дано в условии.
2. Проведём диагональ AC или построим вспомогательную точку. Согласно указанию, отметим точку D₁, симметричную точке D относительно точки N. Это означает, что N является серединой отрезка DD₁, то есть DN=ND₁.
3. Рассмотрим четырёхугольник BCD₁D. Так как диагонали BC и DD₁ пересекаются в середине N (по условию BN=NC и по построению DN=ND₁), то BCD₁D — параллелограмм.
4. Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны и параллельны. Значит, CD₁=BD? Нет, давайте внимательно посмотрим на вершины. В параллелограмме BCD₁D стороны BD и CD₁ не являются противоположными в стандартном порядке обхода, если мы имеем в виду векторы. Давай переформулируем: рассматриваем △ADD₁? Нет. Давайте используем более стандартный подход для таких задач через среднюю линию или векторы, но следуя подсказке про △ABD₁. Если D₁ симметрична D относительно N (середины BC), то △BND≠△CND₁ напрямую по сторонам. Рассмотрим △CBD и △CBD₁? Нет. Вернёмся к определению симметрии: N — середина BC и N — середина DD₁. Следовательно, четырёхугольник BD₁CD является параллелограммом (диагонали делятся пополам). Значит, BD₁=CD и BD₁¶llelCD.
5. Теперь рассмотрим треугольник ABD₁. Его стороны: AB, BD₁ (которая равна CD) и AD₁.
6. Вспомним, кто такая точка M. M — середина AD. А кто такая точка N? N — середина DD₁ (по построению). В треугольнике ADD₁ отрезок MN соединяет середины сторон AD и DD₁. Значит, MN является средней линией треугольника ADD₁.
7. По свойству средней линии: MN=1/2AD₁, откуда AD₁=2MN.
8. Применим неравенство треугольника к △ABD₁: сумма двух любых сторон больше третьей. AB+BD₁>AD₁ (Строгое неравенство выполняется, так как по условию противоположные стороны AB и CD не параллельны. Если бы они были параллельны, точки A,B,D₁ лежали бы на одной прямой или образовывали вырожденный случай, но здесь мы доказываем общий случай для непараллельных сторон).
9. Подставим известные равенства: BD₁=CD и AD₁=2MN. AB+CD>2MN
10. Разделим обе части неравенства на 2: AB+CD/2>MN

Проверка и вывод.

Мы получили, что полусумма длин противоположных сторон AB и CD строго больше длины отрезка MN, соединяющего середины двух других сторон. Условие «противоположные стороны не параллельны» гарантирует, что треугольник ABD₁ невырожденный, и неравенство строгое. Если бы стороны были параллельны, то ABCD был бы трапецией или параллелограммом, и в некоторых случаях могло бы получиться равенство (например, для параллелограмма MN зависит от углов, но классическая теорема о средней линии трапеции говорит, что средняя линия меньше полусуммы оснований только если это не параллелограмм? Нет, для трапеции средняя линия равна полусумме оснований. Но здесь MN соединяет середины боковых сторон? Нет, в условии сказано: «отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон». То есть MN соединяет середины AD и BC. Мы сравниваем их с суммой AB и CD. Это верно для любого выпуклого четырёхугольника, где AB и CD не параллельны. Доказательство корректно.