ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 873: параллелограмм

План решения.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом вспомогательной точки. Пусть ABCD — выпуклый четырёхугольник, где M и N — середины сторон AD и BC соответственно. По условию дано равенство MN=AB+CD/2. Нам нужно доказать, что ABCD является трапецией или параллелограммом, то есть одна пара противоположных сторон параллельна (AB∥CD или AD∥BC).

Вычисление и доказательство.

Проведём диагональ AC и обозначим её середину точкой K. Рассмотрим треугольники ADC и ABC.

• В △ADC отрезок MK соединяет середины сторон AD и AC, значит, MK является средней линией этого треугольника. Следовательно, MK∥DC и MK=1/2DC.
• В △ABC отрезок NK соединяет середины сторон BC и AC, значит, NK является средней линией этого треугольника. Следовательно, NK∥AB и NK=1/2AB.

Теперь рассмотрим сумму длин отрезков MK и KN: MK+KN=1/2DC+1/2AB=AB+DC/2.

По условию задачи мы знаем, что MN=AB+DC/2. Таким образом, получаем равенство: MN=MK+KN.

Из геометрии известно неравенство треугольника (или свойство ломаной): длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не превышает суммы длин звеньев этой ломаной. Равенство достигается тогда и только тогда, когда все вершины ломаной лежат на одной прямой, причём средняя вершина находится между крайними.

Следовательно, точки M, K и N лежат на одной прямой. Поскольку MK∥DC и KN∥AB, а прямые MK и KN совпадают (лежат на одной прямой MN), то из аксиомы параллельности следует, что AB∥DC.

Проверка и вывод.

Если AB∥DC, то по определению четырёхугольник ABCD является трапецией. Если дополнительно выполняется условие AD∥BC, то это параллелограмм (частный случай трапеции в широком смысле или отдельная фигура, но в обоих случаях наличие хотя бы одной пары параллельных сторон подтверждает принадлежность к классу трапеций/параллелограммов). Утверждение доказано.