ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 872: параллелограмм

План решения.

Обозначим вершины выпуклого четырёхугольника как A,B,C,D. Пусть M и N — середины сторон AB и CD, а P и Q — середины сторон BC и DA. Нам дано условие: сумма длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равна половине периметра, то есть MN+PQ=1/2(AB+BC+CD+DA). Чтобы доказать, что ABCD — параллелограмм, воспользуемся свойством средней линии треугольника (задача 871). Введем вспомогательную точку K — середину диагонали AC. Рассмотрим треугольники ABC и ADC.

Вычисление и доказательства.

В треугольнике ABC отрезок MK соединяет середины сторон AB и AC, поэтому он является средней линией. Следовательно, MK∥BC и MK=1/2BC. Аналогично, в треугольнике ADC отрезок NK соединяет середины сторон CD и AC, поэтому NK∥AD и NK=1/2AD.

Рассмотрим треугольник MKN (или вырожденный случай, если точки лежат на одной прямой). По неравенству треугольника для точек M,K,N имеем: MN≤MK+KN Подставив найденные значения, получаем: MN≤1/2BC+1/2AD=1/2(BC+AD) Равенство достигается тогда и только тогда, когда точка K лежит на отрезке MN, то есть когда векторы MK и KN сонаправлены. Поскольку MK∥BC и KN∥AD, это означает, что прямые BC и AD параллельны (BC∥AD).

Теперь рассмотрим другую пару средних линий. Пусть L — середина диагонали BD. В треугольнике ABD средняя линия PL равна 1/2AD и параллельна AD. В треугольнике CBD средняя линия QL равна 1/2CD... Нет, давайте симметрично. Рассмотрим отрезок PQ. Пусть S — середина диагонали BD. Тогда PS — средняя линия △ABD, PS=1/2AD, PS∥AD. QS — средняя линия △CBD, QS=1/2CD? Нет, Q — середина DA, P — середина BC. Возьмем середину диагонали BD, обозначим её O₁. Тогда в △ABD: QO₁ — средняя линия, QO₁=1/2AB, QO₁∥AB. В △CBD: PO₁ — средняя линия, PO₁=1/2CD, PO₁∥CD. По неравенству треугольника для △QO₁P: PQ≤QO₁+O₁P=1/2AB+1/2CD=1/2(AB+CD) Равенство достигается, если AB∥CD.

Сложим два полученных неравенства: MN+PQ≤1/2(BC+AD)+1/2(AB+CD)=1/2(AB+BC+CD+DA) По условию задачи левая часть равна правой части. Это возможно только в том случае, если оба неравенства превращаются в равенства. Значит, одновременно выполняются условия: BC∥AD и AB∥CD.

Проверка и вывод.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, по определению является параллелограммом. Таким образом, мы доказали, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон равна половине периметра, то четырёхугольник — параллелограмм.