ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 869: подобие треугольников

План решения:

1. Обозначим неизвестный угол β=∠ADP. Используя данные условия о соотношениях углов и равенстве отрезков AD=BD=CD, выразим все углы треугольников △APD и △BDC через β. 2. Найдём значение β, используя свойства равнобедренных треугольников и сумму углов в четырёхугольнике или прямую линию. 3. Вычислим все внутренние углы четырёхугольника ABCD для пункта а). 4. Для пункта б) докажем подобие треугольников △ABP и △DBA, что позволит получить требуемое соотношение сторон.

Вычисления:

Пусть ∠ADP=x. Тогда по условию: ∠PDC=2x ∠PAD=3/2x Так как AD=CD, то △ADC — равнобедренный с основанием AC. Однако нам дано AD=BD=CD. Рассмотрим △ABD и △CBD. В △ABD: AD=BD, значит, он равнобедренный. Угол при вершине D разбит диагональю BD? Нет, диагонали пересекаются в P. Точка P лежит на BD и AC. Рассмотрим △APD. Сумма углов: ∠APD=180^°-(x+3/2x)=180^°-5/2x. Вертикальный угол ∠BPC=∠APD. Углы при пересечении диагоналей: ∠APB=180^°-∠APD=5/2x. Давайте используем условие AD=BD=CD. Это означает, что точки A,B,C лежат на окружности с центром D радиуса R=AD. Тогда △ABD — равнобедренный (DA=DB), △BCD — равнобедренный (DB=DC). Обозначим ∠ADB=θ₁ и ∠BDC=θ₂. Тогда ∠ADC=θ₁+θ₂. В △ABD: ∠DAB=∠DBA=180^°-θ₁/2. В △BCD: ∠DBC=∠DCB=180^°-θ₂/2. Вернёмся к углам при точке P. ∠ADP=x. Так как P лежит на BD, то ∠ADB=∠ADP=x. Значит, θ₁=x. Тогда в △ABD: ∠DAB=∠DBA=180^°-x/2=90^°-x/2. По условию ∠PAD=3/2x. Заметим, что ∠PAD — это часть угла ∠DAB? Нет, P лежит на диагонали AC. Значит, луч AP совпадает с лучом AC. Следовательно, ∠PAD=∠CAD. Мы знаем, что ∠DAB=∠DAC+∠CAB. То есть 90^°-x/2=3/2x+∠CAB. Отсюда ∠CAB=90^°-2x. Теперь рассмотрим △BCD. Нам нужно найти связь между x и другими углами. Известно ∠PDC=2x. Так как P лежит на BD, то ∠BDC=∠PDC=2x. Значит, θ₂=2x. В △BCD (равнобедренном): ∠DBC=∠DCB=180^°-2x/2=90^°-x. Теперь найдём угол ∠ABC. ∠ABC=∠ABD+∠DBC=(90^°-x/2)+(90^°-x)=180^°-3x/2. Найдём угол ∠BCD. ∠BCD=∠BCA+∠ACD. Сначала найдём ∠ACD. В △ACD (AD=CD): ∠ADC=∠ADB+∠BDC=x+2x=3x. Значит, ∠ACD=∠CAD=180^°-3x/2=90^°-3x/2. Но мы уже знали, что ∠CAD=∠PAD=3/2x. Приравниваем выражения для ∠CAD: 3/2x=90^°-3/2x 3x=90^°⇒x=30^° Проверим согласованность. Если x=30^°: 1. ∠ADB=30^°. △ABD равнобедренный (AD=BD). Основание AB. Углы при основании: (180-30)/2=75^°. ∠DAB=75^°,∠DBA=75^°. 2. ∠BDC=60^°. △BCD равнобедренный (BD=CD). Угол при вершине 60^°, значит, он равносторонний. ∠DBC=60^°,∠DCB=60^°,BC=BD=CD. 3. Проверим ∠CAD. По формуле 3/2x=45^°. Из △ACD: ∠ADC=30+60=90^°. △ACD прямоугольный равнобедренный (AD=CD). Углы при основании 45^°. Совпадает. Теперь найдём все углы четырёхугольника ABCD: ∠A = ∠DAB=75^°. ∠B = ∠ABC=∠ABD+∠DBC=75^°+60^°=135^°. ∠C = ∠BCD=∠BCA+∠ACD. Или просто из △BCD и △ACD? ∠BCD=∠BCA+∠ACD. Мы знаем ∠ACD=45^°. Нужно ∠BCA. В △ABC: ∠BAC=∠DAB-∠DAC=75^°-45^°=30^°. ∠ABC=135^°. ∠BCA=180^°-135^°-30^°=15^°. Тогда ∠C=∠BCA+∠ACD=15^°+45^°=60^°. (Или проще: ∠C=∠BCD. В равностороннем △BCD угол 60^°. Да, ∠BCD=60^°). ∠D = ∠ADC=∠ADB+∠BDC=30^°+60^°=90^°. Сумма углов: 75+135+60+90=360^°. Верно. Доказательство для пункта б) Нужно доказать AB²=BP·BD. Это соотношение можно переписать как AB/BP=BD/AB. Рассмотрим треугольники △ABP и △DBA. 1. Угол ∠ABP общий (это угол ∠ABD). 2. Сравним другие углы. В △DBA: ∠BDA=30^°, ∠DAB=75^°, ∠DBA=75^°. В △ABP: ∠ABP=75^°. Найдём ∠BAP. ∠BAP=∠BAC=30^° (вычислено выше: ∠DAB-∠DAC=75-45=30). Найдём ∠APB. В △APD: ∠APD=180-(∠PAD+∠ADP)=180-(45+30)=105^°. Тогда смежный ∠APB=180-105=75^°. Итак, в △ABP углы: 30^°,75^°,75^°. Он равнобедренный (AB=AP). В △DBA углы: 30^°,75^°,75^°. Он тоже равнобедренный (DA=DB). Треугольники △ABP и △DBA имеют одинаковые углы (30^°,75^°,75^°), следовательно, они подобны. Соответствие вершин: ∠BAP=30^° соответствует ∠BDA=30^°. ∠ABP=75^° соответствует ∠DBA=75^° (общий). ∠APB=75^° соответствует ∠DAB=75^°. Значит, △ABPbacksim△DBA. Из подобия следует пропорция соответствующих сторон: AB/DB=BP/BA=AP/DA Берём первые две части: AB/BD=BP/AB Перекрёстное умножение даёт: AB²=BP·BD Что и требовалось доказать.