ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 867: векторы
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Роман Жуков, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В равнобедренном треугольнике ABC из середины D основания AC проведён перпендикуляр DH к стороне BC. Пусть M — середина отрезка DH. Докажите, что BM ⊥ AH.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства перпендикулярности отрезков BM и AH удобно использовать метод координат. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы основание равнобедренного треугольника AC лежало на оси абсцисс, а ось ординат проходила через вершину B. Это упростит запись координат точек A, C и B. Далее найдем координаты точки D (середины AC), затем уравнение прямой BC и координаты точки H (основания перпендикуляра из D к BC). После этого определим координаты середины M отрезка DH и вычислим скалярное произведение векторов BM и AH. Если оно равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Вычисления.
Пусть O — начало координат, совпадающее с серединой основания AC. Тогда D совпадает с O, так как по условию D — середина AC. Обозначим полуоснование за a, а высоту треугольника за h. Координаты вершин:
A(-a;0), C(a;0), B(0;h)Точка D имеет координаты (0;0).
Найдем уравнение прямой BC. Она проходит через точки B(0;h) и C(a;0). Угловой коэффициент kBC:
kBC=0-h/a-0=-h/aУравнение прямой BC: y=-h/ax+h.
Прямая DH проходит через точку D(0;0) и перпендикулярна BC. Следовательно, её угловой коэффициент kDH равен обратному числу с противоположным знаком:
kDH=a/hУравнение прямой DH: y=a/hx.
Найдем координаты точки H как пересечение прямых BC и DH. Приравняем выражения для y:
a/hx=-h/ax+h x(a/h+h/a)=h x(a2+h2/ah)=himpliesxH=ah2/a2+h2Подставим xH в уравнение DH, чтобы найти yH:
yH=a/h·ah2/a2+h2=a2h/a2+h2Итак, H(ah2/a2+h2;a2h/a2+h2).
Точка M — середина отрезка DH. Так как D(0;0), то координаты M равны половине координат H:
M(ah2/2(a2+h2);a2h/2(a2+h2))Рассмотрим векторы BM и AH.
Координаты вектора BM=M-B:
xBM=ah2/2(a2+h2)-0=ah2/2(a2+h2) yBM=a2h/2(a2+h2)-h=a2h-2h(a2+h2)/2(a2+h2)=-a2h-2h3/2(a2+h2)=-h(a2+2h2)/2(a2+h2)Координаты вектора AH=H-A:
xAH=ah2/a2+h2-(-a)=ah2+a(a2+h2)/a2+h2=a3+2ah2/a2+h2=a(a2+2h2)/a2+h2 yAH=a2h/a2+h2-0=a2h/a2+h2Вычислим скалярное произведение BM·AH:
BM·AH=xBMxAH+yBMyAH =ah2/2(a2+h2)·a(a2+2h2)/a2+h2+(-h(a2+2h2)/2(a2+h2))·a2h/a2+h2 =a2h2(a2+2h2)/2(a2+h2)2-a2h2(a2+2h2)/2(a2+h2)2=0Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то BM⊥AH.
Проверка.
Логика рассуждений корректна: выбор системы координат не ограничивает общность задачи, так как свойства перпендикулярности инвариантны относительно поворотов и параллельных переносов. Алгебраические преобразования при нахождении координат точки H и векторов выполнены без ошибок. Нулевой результат скалярного произведения подтверждает требуемое утверждение.
Доказано методом координат: скалярное произведение векторов BM и AH равно 0.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 867 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 867?
Краткий ответ: Доказано методом координат: скалярное произведение векторов BM и AH равно 0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи к главе VIII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.