ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 863: векторы

План решения.

Для доказательства того, что точка K лежит на медиане треугольника ABC, проведённой к стороне AB, обозначим середину стороны AB как точку M. Нам нужно доказать, что точки C, K и M лежат на одной прямой. Для этого воспользуемся методом подобия треугольников или векторным подходом. В школьной геометрии удобнее использовать свойства параллельных прямых и пропорциональные отрезки. Рассмотрим проекции точек на сторону AB или используем теорему Фалеса в комбинации с признаками подобия.

Вычисление и доказательство.

Пусть M — середина отрезка AB. Тогда AM=MB. По условию дано, что AE=BF. Так как точка E лежит на AF, а порядок точек на прямой обычно принимается за A,E,F,B (или симметрично относительно центра), проверим расположение отрезков относительно середины M. 1. Выразим координаты точек на прямой AB, приняв начало отсчёта в точке A. Пусть длина AB=c. Тогда координата B равна c, а координата середины M равна c/2. 2. Пусть AE=x. Тогда координата E равна x. 3. По условию BF=AE=x. Поскольку F лежит на AB, её координата равна c-x. 4. Найдём координату середины отрезка EF: x_E+x_F/2=x+(c-x)/2=c/2. 5. Это означает, что середина отрезка EF совпадает с точкой M. Таким образом, EM=MF. Теперь рассмотрим построение точки K. Прямая через E параллельна AC, а прямая через F параллельна BC. Обозначим пересечение этих прямых за K. Рассмотрим треугольник ABC и его медиану CM. Докажем, что K лежит на продолжении CM. Воспользуемся векторным методом для строгости, который легко переводится в геометрические рассуждения о подобии. Пусть CA=a, CB=b. Тогда CM=a+b/2. Выразим положение точки K. Точка K получается как пересечение двух прямых: - Прямая l₁ проходит через E параллельно AC. Вектор направления a. Точка E делит AB так, что CE=CA+AE. Заметим, что AE=x/cAB=x/c(b-a). Но проще рассмотреть подобие. Давайте вернёмся к указанию из ответа: △MBC∼△MFK? Нет, это указание может быть опечаткой в трактовке, так как K не обязательно образует подобные треугольники с MBC напрямую без дополнительных условий. Попробуем другой путь — через координатную плоскость или векторы, что является универсальным доказательством. Введём систему координат. Пусть M(0;0). Тогда A(-m;0), B(m;0), где m=AB/2. Пусть C(x_c;y_c). Так как AE=BF, то точки E и F симметричны относительно M. Если E имеет координату x_e, то F имеет координату -x_e (при условии, что E ближе к A, а F ближе к B, или наоборот, но расстояние до краёв одинаково). Проверим: A=-m,B=m. E=-m+d, F=m-d. Середина EF: -m+d+m-d/2=0=M. Верно. Уравнение прямой AC: проходит через (-m;0) и (x_c;y_c). Угловой коэффициент k_AC=y_c/x_c+m. Прямая через E параллельна AC: y-0=k_AC(x-x_E). Уравнение прямой BC: проходит через (m;0) и (x_c;y_c). Угловой коэффициент k_BC=y_c/x_c-m. Прямая через F параллельна BC: y-0=k_BC(x-x_F). Найдём координаты K(x_K;y_K) как решение системы: y_K=y_c/x_c+m(x_K-x_E) y_K=y_c/x_c-m(x_K-x_F) Приравниваем правые части (так как y_K≠0 при невырожденном треугольнике): x_K-x_E/x_c+m=x_K-x_F/x_c-m Подставим x_E=-m+d и x_F=m-d: x_K-(-m+d)/x_c+m=x_K-(m-d)/x_c-m (x_K+m-d)(x_c-m)=(x_K-m+d)(x_c+m) Раскроем скобки: x_Kx_c-x_Km+mx_c-m²-dx_c+dm=x_Kx_c+x_Km-mx_c-m²+dx_c+dm Сокращаем одинаковые члены (x_Kx_c, -m², dm): -x_Km+mx_c-dx_c=x_Km-mx_c+dx_c Переносим всё с x_K влево, остальное вправо: mx_c+mx_c-dx_c-dx_c=x_Km+x_Km 2mx_c-2dx_c=2mx_K Делим на 2: x_c(m-d)=mx_Kimpliesx_K=x_cm-d/m Теперь найдём y_K из первого уравнения: y_K=y_c/x_c+m(x_cm-d/m-(-m+d)) Упростим выражение в скобках: x_cm-d/m+m-d=(m-d)(x_c/m+1)=(m-d)x_c+m/m Подставляем обратно в формулу для y_K: y_K=y_c/x_c+m·(m-d)x_c+m/m=y_cm-d/m Итак, координаты точки K: K(x_cm-d/m; y_cm-d/m) Координаты точки C: (x_c;y_c). Координаты точки M: (0;0). Заметим, что вектор MK=(x_cm-d/m; y_cm-d/m)=m-d/mMC. Это означает, что векторы MK и MC коллинеарны. Следовательно, точки M, K и C лежат на одной прямой. Так как M — середина AB, то прямая CM является медианой треугольника ABC. Значит, точка K лежит на медиане CM.

Проверка.

Если треугольник ABC равнобедренный (AC=BC), то медиана CM является осью симметрии. Точки E и F симметричны относительно оси CM. Прямые, параллельные боковым сторонам, также будут симметричны относительно этой оси. Их пересечение K обязано лежать на оси симметрии, то есть на медиане. Наше алгебраическое доказательство подтверждает этот частный случай и общий случай произвольного треугольника. Отношение MK/MC=m-d/m показывает, что K находится между M и C (если d<m, т.е. E,F внутри отрезка AB), либо на продолжении, в зависимости от расположения точек, но всегда на прямой CM.