ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 875

План решения.

Согласно указанию, продолжим перпендикуляры AM и AK до пересечения с прямой BC. Пусть точка M лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине B, а точка K — на биссектрисе внешнего угла при вершине C. Обозначим точки пересечения прямых AM и AK с прямой BC как D и E соответственно. Наша цель — доказать, что MK является средней линией треугольника DAE, а затем связать длину этой средней линии с периметром исходного треугольника ABC.

Вычисление и доказательства.

Рассмотрим треугольник ABD. По условию BM является биссектрисой внешнего угла при вершине B. Также по условию AM⊥BM, то есть AD⊥BM. В треугольнике ABD отрезок BM одновременно является и биссектрисой, и высотой. Это означает, что треугольник ABD — равнобедренный с основанием AD, где BA=BD. Кроме того, в равнобедренном треугольнике высота, опущенная к основанию, является медианой. Следовательно, точка M является серединой отрезка AD, то есть AM=MD.

Аналогично рассмотрим треугольник ACE. Отрезок CK является биссектрисой внешнего угла при вершине C, и по условию AK⊥CK, то есть AE⊥CK. Значит, в треугольнике ACE отрезок CK — это и биссектриса, и высота. Следовательно, треугольник ACE равнобедренный (CA=CE), а точка K является серединой основания AE, то есть AK=KE.

Теперь обратимся к треугольнику DAE. Мы установили, что M — середина стороны AD, а K — середина стороны AE. По определению, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией. Таким образом, MK — средняя линия треугольника DAE. Свойство средней линии гласит, что она параллельна третьей стороне и равна её половине. Третьей стороной здесь является отрезок DE, лежащий на прямой BC. Значит:

Нам нужно выразить длину отрезка DE через стороны треугольника ABC. Точки D и E лежат на прямой BC. Поскольку BM — биссектриса внешнего угла при B, точка D лежит на продолжении стороны CB за точку B. Аналогично, так как CK — биссектриса внешнего угла при C, точка E лежит на продолжении стороны BC за точку C. Порядок точек на прямой: D,B,C,E.

Длина отрезка DE складывается из длин отрезков DB, BC и CE:

Из ранее доказанных равенств для равнобедренных треугольников имеем DB=AB и CE=AC. Подставим эти значения:

Выражение AB+BC+AC — это периметр треугольника ABC, обозначим его P_ABC.

Таким образом:

Возвращаясь к формуле для средней линии:

Проверка.

Логика построения корректна: использование свойств равнобедренного треугольника (совпадение высоты и биссектрисы) позволяет найти середины сторон вспомогательного треугольника DAE. Применение теоремы о средней линии дает связь между искомым отрезком MK и основанием DE. Разложение DE на части учитывает расположение точек относительно вершин B и C при внешних биссектрисах. Результат совпадает с требуемым утверждением.