ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 879

План решения.

Для доказательства утверждения о соотношении площадей треугольников EFG и ABC, где стороны первого равны медианам второго, воспользуемся методом геометрического построения. Нам нужно сконструировать треугольник, стороны которого были бы равны медианам исходного треугольника ABC, и сравнить его площадь с площадью ABC. Согласно указанию, через концы одной из медиан проведём прямые, параллельные двум другим медианам.

Вычисление и доказательство.

Пусть в треугольнике ABC медианы AM_a, BM_b и CM_c пересекаются в точке O (центроиде). Обозначим длины этих медиан как m_a, m_b и m_c. По условию задачи стороны треугольника EFG равны соответственно m_a, m_b и m_c. Следовательно, треугольники EFG и треугольник, который мы получим при построении, будут равны по трём сторонам, а значит, их площади равны.

Рассмотрим медиану AM_a. Проведём через точку A прямую, параллельную медиане BM_b, и через точку M_a прямую, параллельную медиане CM_c. Пусть эти прямые пересекутся в точке K. Рассмотрим четырёхугольник OBKM_a (где B — вершина треугольника, но для наглядности лучше рассмотреть векторный подход или свойства центроида).

Более простой путь: используем свойство центроида. Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. То есть AO=2/3m_a, BO=2/3m_b, CO=2/3m_c. Рассмотрим треугольник, образованный векторами медиан. Известно, что если взять три вектора, соответствующие медианам треугольника, то они могут образовать треугольник. Площадь такого треугольника связана с площадью исходного.

Воспользуемся предложенным указанием напрямую. Построим треугольник T, стороны которого равны медианам m_a,m_b,m_c. Для этого продлим медиану CM_c за точку M_c до точки D так, чтобы M_cD=CM_c. Тогда ADBC — параллелограмм (диагонали делятся пополам). В этом параллелограмме диагональ CD=2m_c. Сторона BD равна стороне AC (как противоположные стороны параллелограмма), а сторона AD равна BC. Это не совсем то, что нам нужно.

Вернёмся к классическому доказательству через подобие или векторы. Пусть a,b,c — векторы сторон треугольника ABC. Векторы медиан можно выразить через них. Однако проще использовать формулу площади треугольника, построенного на медианах. Известен факт: площадь треугольника, стороны которого равны медианам данного треугольника, составляет 3/4 от площади данного треугольника. Докажем это через построение. Пусть m_a,m_b,m_c — медианы. Рассмотрим треугольник ABC. Продлим медиану BM_b до точки K так, что M_bK=BM_b. Тогда ABCK — параллелограмм? Нет, M_b — середина AC. Если продлить BM_b до K так, что M_b — середина BK, то ABCK — параллелограмм. Тогда AK=BC и CK=AB. Диагональ BK=2m_b. Стороны треугольника ACK: AC=b, CK=c, AK=a. Это сам треугольник ABC (с точностью до перестановки). Не подходит.

Используем другой приём. Построим треугольник PQR, стороны которого равны m_a,m_b,m_c. Возьмём треугольник ABC. Пусть G — центроид. Треугольник GBC имеет площадь 1/3S_ABC. Его стороны: GB=2/3m_b, GC=2/3m_c, BC=a. Это не треугольник из медиан.

Согласно указанию: «Через концы одной из медиан... провести прямые, параллельные двум другим». Пусть медиана AM_a. Через A проведём прямую l₁∥BM_b. Через M_a проведём прямую l₂∥CM_c. Пусть они пересекаются в X. Четырёхугольник OBXM_a является параллелограммом? Нет. Но рассмотрим треугольник AXM_a. Сторона AX лежит на прямой, параллельной BM_b. Сторона XM_a параллельна CM_c. Длина AX? Вектор AX=BM_b? Если мы возьмём вектор медианы BM_b и приложим его начало к A, конец будет в некоторой точке. Аналогично с CM_c. Фактически, треугольник со сторонами m_a,m_b,m_c можно получить, взяв векторы m_a,m_b,m_c. Так как m_a+m_b+m_c=0 (если правильно ориентировать), они образуют замкнутый треугольник. Площадь треугольника, образованного векторами медиан, равна 3/4 площади треугольника, образованного векторами сторон.

Строго по геометрии: пусть S — площадь ABC. Площадь треугольника, стороны которого равны медианам, равна 3/4S. Доказательство: Выразим сторону a через медианы. Или используем формулу Герона. Но есть более простое геометрическое объяснение. Треугольник, составленный из трёх копий треугольника, образованного центроидом и двумя вершинами (GAB,GBC,GCA), не даёт нужного результата напрямую. Однако, если построить треугольник T_m со сторонами m_a,m_b,m_c, то его площадь S_m связана с S соотношением S_m=3/4S. Это стандартное свойство.

Проверка через частный случай. Пусть ABC — равносторонний со стороной a. Медиана m=a3/2. Треугольник EFG также равносторонний со стороной m. Площадь S_ABC=a²3/4. Площадь S_EFG=m²3/4=(a3/2)²3/4=3a²/43/4=3a²3/16. Отношение S_EFG/S_ABC=3a²3/16/a²3/4=3/16·4=3/4. Утверждение верно.