ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 881: подобие треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Никита Ершов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Через вершину A параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ BD и продолжения сторон CD и BC в точках M, N и P соответственно. Докажите, что отрезок AM является средним пропорциональным между отрезками MN и MP.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы доказать, что отрезок AM является средним пропорциональным между отрезками MN и MP, необходимо установить равенство AM2=MN·MP. Это равносильно пропорции AM/MN=MP/AM. Для получения таких отношений воспользуемся подобием треугольников, образованных параллельными сторонами параллелограмма и секущей прямой. Согласно указанию, рассмотрим пары подобных треугольников: △MND∼△MAB и △MAD∼△MPB.
Вычисление и доказательство.
1. Рассмотрим треугольники MND и MAB. Так как ABCD — параллелограмм, то AB∥CD. Следовательно, AB∥DN (так как точка N лежит на продолжении стороны CD). Углы при вертикальных пересечениях равны: ∠DMN=∠BMA. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DN и секущей BD: ∠MDN=∠MBA. По двум углам треугольники подобны: △MND∼△MAB. Из подобия следует пропорция соответствующих сторон: MN/AM=MD/MB (Здесь мы выразили отношение боковых сторон через основания или другие соответствующие стороны. Давайте проверим соответствие вершин: M↔M, N↔A, D↔B. Тогда MN/MA=MD/MB=ND/AB.) Итак, имеем первое соотношение: MN/AM=MD/MB (1)
2. Теперь рассмотрим треугольники MAD и MPB. Так как ABCD — параллелограмм, то AD∥BC. Следовательно, AD∥BP (так как точка P лежит на продолжении стороны BC). Углы при вертикальных пересечениях равны: ∠AMD=∠PMB. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BP и секущей BD: ∠ADM=∠PBM. По двум углам треугольники подобны: △MAD∼△MPB. Из подобия следует пропорция соответствующих сторон (M↔M, A↔P, D↔B): AM/MP=MD/MB (2)
3. Объединим результаты. Из соотношений (1) и (2) видно, что правые части равны (MD/MB). Следовательно, равны и левые части: MN/AM=AM/MP Перемножив крест-накрест, получаем: AM·AM=MN·MP AM2=MN·MP Это означает, что AM является средним пропорциональным между MN и MP.
Проверка.
Логика доказательства опирается на фундаментальное свойство параллелограмма (параллельность противоположных сторон) и признак подобия треугольников по двум углам. Мы получили два независимых выражения для отношения MD/MB через отрезки секущей. Приравнивание этих выражений напрямую приводит к искомому квадрату среднего пропорционального. Ошибок в знаменателях и числителях пропорций не допущено, так как соответствие вершин установлено корректно (N соответствует A, а P соответствует A в разных парах, но структура пропорций согласуется с геометрией задачи).
Доказано: AM2=MN·MP, следовательно, AM — среднее пропорциональное.
Задача решается методом двойного подобия. Ключевой момент — найти общее отношение (в данном случае MD/MB), которое связывает обе пары треугольников с искомыми отрезками.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 881 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 881?
Краткий ответ: Доказано: AM^2 = MN · MP, следовательно, AM — среднее пропорциональное.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи к главе VIII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.