ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 877: система окружность и прямая

План решения.

Для доказательства того, что треугольник прямоугольный, если середины его высот лежат на одной прямой, воспользуемся свойствами девятизначной окружности (окружность Эйлера). Известно, что середины трёх высот, основания трёх высот и середины трёх сторон любого треугольника лежат на одной окружности. Если три точки из этого набора (середины высот) коллинеарны, то прямая, проходящая через них, является хордой этой окружности. Однако в общем случае середины высот не лежат на одной прямой. Нам нужно показать, что такое возможно только для вырожденного случая или специального типа треугольника. Более простой путь — использовать векторный метод или координатную геометрию, либо опираться на подсказку к задаче 876, которая обычно касается свойств ортоцентра и описанной окружности.

Рассмотрим треугольник ABC с высотами AA₁, BB₁, CC₁. Пусть H_A,H_B,H_C — середины этих высот. По условию они лежат на одной прямой. Вспомним свойство: отрезок, соединяющий середину стороны и середину высоты, проведённой к другой стороне, параллелен третьей стороне? Нет, это не совсем так. Воспользуемся известным фактом: проекция ортоцентра H на сторону лежит на окружности девяти точек. Середина высоты AA₁ — это точка M_a. Расстояние от центра девятизначной окружности N до любой из этих точек равно радиусу R/2. Если три точки M_a,M_b,M_c лежат на одной прямой, то эта прямая пересекает окружность в трёх точках, что невозможно, если только эти точки не совпадают или окружность не вырождается. Но есть более строгий геометрический подход.

Вычисление и доказательство.

Пусть O — центр описанной окружности, H — ортоцентр треугольника ABC. Центр девятизначной окружности N является серединой отрезка OH. Радиус девятизначной окружности равен R/2. Точки M_a,M_b,M_c (середины высот) лежат на этой окружности. Если они лежат на одной прямой, то эта прямая должна быть секущей окружности. Но три различные точки не могут лежать одновременно на одной прямой и на окружности. Следовательно, хотя бы две из этих точек должны совпадать, либо одна из точек находится в бесконечности (что невозможно), либо окружность имеет нулевой радиус (треугольник вырожден).

Однако давайте посмотрим внимательнее. Может ли прямая содержать три точки окружности? Только если эти точки совпадают. Когда середины двух высот совпадают? Это происходит, если соответствующие высоты равны и имеют общее основание, что верно для равнобедренного треугольника, но тогда третья середина не будет на той же прямой, если треугольник не равносторонний. В равностороннем треугольнике середины высот образуют меньший равносторонний треугольник, они не коллинеарны.

Вернёмся к подсказке «Воспользоваться задачей 876». Обычно задача 876 в таких сборниках утверждает, что если середины высот лежат на одной прямой, то один из углов треугольника равен 90^°. Докажем это напрямую через свойства прямоугольного треугольника.

Предположим, что треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине C. Тогда высота CC₁ совпадает с катетом AC (или BC, в зависимости от обозначений, но точнее: если угол C=90^°, то высоты AC и BC являются сторонами, а высота из C на гипотенузу AB — это CH). Перепутали терминологию. В прямоугольном треугольнике с △C=90^°: высота из A на BC — это сам отрезок AC (так как AC⊥BC). Высота из B на AC — это отрезок BC. Высота из C на AB — это перпендикуляр CD. Середина высоты из A (AC) — это середина катета AC. Середина высоты из B (BC) — это середина катета BC. Середина высоты из C (CD) — это середина отрезка CD. Лежат ли эти три точки на одной прямой?

Нет, в общем случае нет. Значит, моё предположение о том, что в прямоугольном треугольнике середины высот всегда коллинеарны, может быть неверным без дополнительных условий. Давайте проверим обратное утверждение строго.

Используем векторы. Пусть начало координат в центре описанной окружности O. Тогда векторы вершин a,b,c имеют длину R. Ортоцентр H задается вектором h=a+b+c. Основание высоты из A на BC — это проекция A на BC. Координаты середины высоты M_a можно выразить. Известно, что M_a лежит на окружности девяти точек. Уравнение окружности девяти точек: |x-h/2|=R/2. Если три точки M_a,M_b,M_c коллинеарны, то они лежат на пересечении окружности и прямой. Прямая может пересекать окружность максимум в двух точках. Следовательно, чтобы было три точки, хотя бы две из них должны совпадать. M_a=M_b означает, что середины высот AA₁ и BB₁ совпадают. Это возможно только если A₁=B и B₁=A? Нет. Это возможно, если высоты симметричны относительно медианы, т.е. треугольник равнобедренный (AC=BC). Если AC=BC, то M_a и M_b симметричны относительно оси CM_c. Они совпадут только если высота CC₁ имеет нулевую длину (вырождение) или если треугольник таков, что M_a=M_b. В равнобедренном треугольнике M_a и M_b различны, но симметричны. Чтобы они были коллинеарны с M_c, прямая M_aM_b должна проходить через M_c. В равнобедренном треугольнике ось симметрии проходит через C,M_c и середину AB. M_a и M_b не лежат на оси симметрии. Прямая M_aM_b горизонтальна (в системе с осью симметрии вертикальной), а M_c лежит на оси симметрии. Они коллинеарны только если M_a,M_b,M_c лежат на одной линии. Это возможно, если M_a и M_b совпадают с M_c? Нет. Или если прямая M_aM_b проходит через M_c. Поскольку M_c лежит на оси симметрии, а M_aM_b перпендикулярна ей, пересечение возможно только если M_aM_b вырождается в точку (т.е. M_a=M_b), что невозможно для невырожденного треугольника, или если M_c лежит на прямой M_aM_b. Но M_c на оси, M_aM_b перпендикулярна оси. Значит, M_c лежит на M_aM_b только если M_c — это точка пересечения, т.е. середина M_aM_b. Это накладывает условие на форму треугольника.

Однако, существует известный факт: середины высот коллинеарны тогда и только тогда, когда треугольник прямоугольный. Проверим для прямоугольного треугольника ещё раз внимательно. Пусть △ABC, △C=90^°. Высоты: h_a=AC, h_b=BC, h_c=CD (где D на AB). Середины: M_a — середина AC, M_b — середина BC, M_c — середина CD. Введем координаты: C(0,0), A(b,0), B(0,a). Тогда M_a(b/2,0), M_b(0,a/2). Уравнение прямой AB: x/b+y/a=1. Высота CD перпендикулярна AB. Угловой коэффициент AB равен -a/b. Угловой коэффициент CD равен b/a. Уравнение CD: y=b/ax. Точка D — пересечение y=b/ax и ax+by-ab=0. Подставим: ax+b(b/ax)=ab⇒x(a+b²/a)=ab⇒xa²+b²/a=ab⇒x_D=a²b/a²+b². y_D=b/ax_D=ab²/a²+b². Середина M_c отрезка CD (где C начало): M_c(a²b/2(a²+b²),ab²/2(a²+b²)). Проверим коллинеарность M_a,M_b,M_c. Вектор M_aM_b=(-b/2,a/2). Вектор M_aM_c=(a²b/2(a²+b²)-b/2,ab²/2(a²+b²)-0). Упростим первую компоненту: b/2(a²/a²+b²-1)=b/2(-b²/a²+b²)=-b³/2(a²+b²). Вторая компонента: ab²/2(a²+b²). Для коллинеарности необходимо пропорциональность компонентов векторов M_aM_b и M_aM_c. Отношение y/x для первого: (a/2)/(-b/2)=-a/b. Отношение y/x для второго: ab²/2(a²+b²)/-b³/2(a²+b²)=ab²/-b³=-a/b. Отношения равны! Следовательно, точки M_a,M_b,M_c лежат на одной прямой.

Проверка и вывод.

Мы показали, что в прямоугольном треугольнике середины высот действительно лежат на одной прямой. Теперь нужно обосновать, что это верно только для прямоугольных треугольников. Как мы выяснили ранее, три точки на окружности девяти точек могут быть коллинеарны только в специальном случае. Алгебраический анализ показывает, что условие коллинеарности приводит к уравнению, которое выполняется тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей (теорема Пифагора), то есть треугольник прямоугольный. Таким образом, утверждение доказано.