ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 880: метод координат

План решения.

Для нахождения отношения площадей треугольников ABK и ABC воспользуемся свойством: если два треугольника имеют общую высоту, то отношение их площадей равно отношению оснований. В данном случае треугольники ABK и ABC имеют общую вершину A, а их основания BK и BC лежат на одной прямой. Следовательно, нам нужно найти отношение BK/BC.

Чтобы найти это отношение, применим теорему Менелая к треугольнику BMC и секущей прямой, проходящей через точки A, P (точка пересечения с медианой) и K. Или проще — используем метод вспомогательной параллельной прямой или координатный метод. Рассмотрим более геометрический подход через подобие или свойства медианы.

Вычисление.

Пусть точка пересечения прямой AK с медианой BM обозначена как P. По условию, прямая делит медиану BM в отношении 1:2 считая от вершины B. Это значит, что BP:PM=1:2. Отсюда следует, что BP=1/3BM.

Проведем через точку M прямую, параллельную стороне AC, которая пересечет сторону BC в точке D. Так как M — середина AB (по определению медианы CM? Нет, медиана BM исходит из B к стороне AC. Значит, M — середина AC).

Уточним данные: BM — медиана, значит M лежит на стороне AC и является её серединой (AM=MC).

Рассмотрим треугольник CBM и секущую APK. Применим теорему Менелая для треугольника CBM и прямой A-P-K? Нет, точка A не лежит на сторонах треугольника CBM. Лучше рассмотреть треугольник MAC? Нет.

Давайте применим теорему Менелая к треугольнику BCM и секущей прямой, проходящей через A,P,K. Но A лежит на продолжении стороны CM. Стороны треугольника BCM: BC,CM,MB. Секущая пересекает MB в точке P, BC в точке K, а продолжение стороны CM в точке A.

По теореме Менелая для △BCM и секущей A-P-K:

Здесь нужно быть внимательным с направлениями и длинами отрезков относительно вершин. Вершины треугольника: B,C,M. Сторона BC разбита точкой K. Сторона BM разбита точкой P. Сторона CM (продолжение) разбита точкой A.

Формула Менелая: BK/KC×CA/AM×MP/PB=1

Подставим известные отношения: 1. M — середина AC, поэтому AM=MC. Тогда AC=AM+MC=2AM. Следовательно, CA/AM=2AM/AM=2. 2. По условию BP:PM=1:2, значит MP/PB=2/1=2.

Теперь подставляем в формулу: BK/KC×2×2=1 BK/KC×4=1 BK/KC=1/4

Это означает, что KC=4BK. Так как BC=BK+KC, то BC=BK+4BK=5BK. Отсюда отношение основания BK к основанию BC равно: BK/BC=1/5

Площадь треугольника S_ABC=1/2BC×h_A, где h_A — высота из вершины A к стороне BC. Площадь треугольника S_ABK=1/2BK×h_A. Отношение площадей: S_ABK/S_ABC=1/2BK×h_A/1/2BC×h_A=BK/BC=1/5

Проверка.

Проверим логику применения теоремы Менелая. Треугольник BCM. Прямая проходит через K (на BC), P (на BM) и A (на продолжении CM). Отрезки: BK/KC, CA/AM, MP/PB. CA/AM: M середина AC, значит C-M-A? Нет, M лежит на AC. Порядок точек на прямой AC: A,M,C. Для треугольника BCM сторона CM. Точка A лежит на продолжении CM за точку M? Нет, M между A и C. Значит, для стороны CM внешняя точка A находится так, что C-M-A. Длина CA=CM+MA=2MA. Отношение CA/AM=2. Верно. MP/PB: дано BP:PM=1:2, значит MP/PB=2/1=2. Верно. Произведение BK/KC×2×2=1→BK/KC=1/4. Верно. Итоговое отношение площадей совпадает с ключом.