ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 882: трапеция
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Алексей Широков, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Постройте точку на большем основании равнобедренной трапеции, которая отстоит от данной боковой стороны в n раз дальше, чем от другой боковой стороны (для случаев n=2, 3, 4).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD (большее) и BC (меньшее). Пусть X — искомая точка на основании AD. По условию, расстояние от точки X до боковой стороны AB в n раз больше расстояния от неё до другой боковой стороны CD. Обозначим эти расстояния как h1 и h2 соответственно. Тогда h1=n·h2. Так как трапеция равнобедренная, углы при большем основании равны: ∠DAB=∠ADC=α. Расстояние от точки до прямой можно выразить через синус угла между этой прямой и линией, соединяющей точку с основанием перпендикуляра. В треугольниках, образованных перпендикулярами из точки X к сторонам AB и CD, гипотенузами являются отрезки AX и XD. Следовательно: h1=AXsinα h2=XDsinα Подставив выражения для h1 и h2 в условие h1=nh2, получаем связь между отрезками основания.
Вычисление и построение.
Из равенства AXsinα=n·XDsinα следует, что при sinα≠0 (трапеция не вырождена): AX=n·XD или AX/XD=n Это означает, что точка X делит большее основание AD в отношении n:1, считая от вершины A (данной боковой стороны). Для построения такой точки используется задача о делении отрезка в данном отношении (задача 690 по указанию учебника). Алгоритм построения для произвольного натурального n: 1. Проведём луч AK под острым углом к основанию AD. 2. Отложим на луче AK последовательно n+1 равных отрезков произвольной длины: AA1=A1A2=…=AnAn+1. 3. Соединим точку An+1 с точкой D. 4. Через точку An проведём прямую, параллельную An+1D. Эта прямая пересечёт основание AD в искомой точке X. По теореме Фалеса (или свойству подобия треугольников), эта конструкция обеспечивает отношение AX:XD=n:1.
Проверка случаев n=2,3,4.
- Случай n=2: Точка X должна делить отрезок AD так, что AX=2XD. То есть X находится ближе к вершине D. Построение требует отложить 3 равных отрезка на вспомогательном луче и провести параллель через вторую точку (A2).
- Случай n=3: Условие AX=3XD. Точка X ещё сильнее смещена к D. На луче откладываем 4 равных отрезка, проводим параллель через третью точку (A3).
- Случай n=4: Условие AX=4XD. На луче откладываем 5 равных отрезков, проводим параллель через четвёртую точку (A4).
Во всех случаях полученная точка X удовлетворяет исходному геометрическому условию, так как расстояния до боковых сторон пропорциональны отрезкам основания, а углы при основании равны.
а) Для n=2: построить точку X на AD так, чтобы AX=2XD.
б) Для n=3: построить точку X на AD так, чтобы AX=3XD.
в) Для n=4: построить точку X на AD так, чтобы AX=4XD.
Задача сводится к доказательству того, что в равнобедренной трапеции отношение расстояний от точки на основании до боковых сторон равно отношению отрезков, на которые эта точка делит основание. Это следует из формулы площади или тригонометрии (h=xsinα). Далее применяется стандартное построение деления отрезка в заданном отношении.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 882 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 882?
Краткий ответ: а) Для n=2: построить точку X на AD так, чтобы AX = 2XD. б) Для n=3: построить точку X на AD так, чтобы AX = 3XD. в) Для n=4: построить точку X на AD так, чтобы AX = 4XD.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи к главе VIII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.