ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 886

План решения. Задача на построение треугольника по двум углам и сумме стороны и высоты к третьей стороне. Поскольку сумма AC+BH не является непосредственно элементом треугольника, воспользуемся методом подобия. Сначала построим вспомогательный треугольник A′B′C′ с теми же углами ∠A′=∠A и ∠C′=∠C, но с произвольной стороной A′C′. Затем найдем высоту B′H′ этого вспомогательного треугольника и вычислим сумму S′=A′C′+B′H′. Искомый треугольник будет подобен вспомогательному с коэффициентом подобия k=m/S′, где m — данный отрезок (сумма AC+BH).

Вычисление и построение.

1. Строим угол α, равный данному углу A, и угол γ, равный данному углу C. На луче угла α откладываем произвольный отрезок A′C′.
2. В точке C′ строим угол γ так, чтобы его сторона пересекла другую сторону угла α в точке B′. Получили вспомогательный треугольник A′B′C′.
3. Из вершины B′ опускаем перпендикуляр B′H′ на прямую A′C′ (высота).
4. На прямой A′C′ от точки C′ в направлении, противоположном A′, или просто продолжая отрезок A′C′ за точку C′, откладываем отрезок C′D, равный высоте B′H′. Тогда отрезок A′D=A′C′+C′D=A′C′+B′H′. Это наша вспомогательная сумма S′.
5. Теперь нужно построить треугольник, подобный A′B′C′, так чтобы сумма его основания и высоты стала равна данному отрезку m. Для этого используем теорему Фалеса или подобие прямоугольных треугольников.
   • Строим угол φ (например, прямой) с вершиной O.
   • На одной стороне угла откладываем отрезок OK=S′ (отрезок A′D).
   • На другой стороне угла откладываем отрезок OL=m (данный отрезок).
   • Соединяем K и L.
   • Через конец отрезка S′ (точка K) проводим линию, параллельную KL? Нет, стандартный способ: строим треугольник со сторонами S′ и m под углом, затем находим четвертый пропорциональный. Проще: строим угол XOY. На OX откладываем OA₁=S′, на OY откладываем OB₁=m. Соединяем A₁B₁. Теперь нам нужно найти масштаб. Построим треугольник ABC напрямую через подобие.
6. Более простой путь построения искомого треугольника ABC:
   • Строим угол A и угол C как в п. 1-2, но теперь будем строить сразу «правильные» размеры через подобие.
   • Построим вспомогательный треугольник A₀B₀C₀ с углами A и C и высотой h₀ и основанием a₀. Пусть сумма s₀=a₀+h₀.
   • Построим отрезок x, такой что x/a₀=m/s₀. Это можно сделать, построив угол, отложив на одной стороне s₀, на другой m, соединив концы, и проведя параллельную через конец отрезка a₀ на первой стороне.
   • Отложенный отрезок x будет равен искомой стороне AC.
   • Строим треугольник ABC: на прямой откладываем AC=x. В точке A строим угол A, в точке C строим угол C. Пересечение сторон углов дает вершину B.

Проверка. Треугольник ABC построен по стороне AC и прилежащим углам A и C, поэтому он единственен с точностью до congruence. Так как мы выбрали длину AC из условия подобия AC/A₀C₀=BH/B₀H₀=AC+BH/A₀C₀+B₀H₀=m/s₀, то сумма AC+BH действительно равна заданному отрезку m. Углы сохранены по построению. Решение верно.