ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 889: уравнения

План решения.

Для построения ромба необходимо определить длины его диагоналей. Обозначим сторону данного квадрата через a, а данные отрезки — через m и n. Площадь квадрата равна S_кв =a². Пусть диагонали искомого ромба равны d₁ и d₂. По условию, отношение диагоналей равно отношению данных отрезков: d₁/d₂=m/n. Также известно, что площадь ромба вычисляется по формуле S_ромб =1/2d₁d₂. Поскольку площади равны, имеем уравнение 1/2d₁d₂=a².

Вычисление и алгебраический вывод.

Из пропорции d₁/d₂=m/n следует, что d₁=m/nd₂. Подставим это выражение в формулу площади:

Аналогично найдем первую диагональ:

Таким образом, нам нужно построить отрезки длиной a2m/n и a2n/m. Для этого воспользуемся свойством среднего геометрического. Построим отрезок x, такой что x²=2m/na². Это можно сделать, последовательно строя четвертые пропорциональные и средние геометрические.

Проверка и описание построения.

Алгоритм построения:

1. Строим отрезок AC=2a (удвоенная сторона квадрата).
2. На продолжении AC за точку C откладываем отрезок CD=n (один из данных отрезков). Получаем отрезок AD=2a+n.
3. Строим полукруг на диаметре AD.
4. Восстанавливаем перпендикуляр к AD в точке C, пересекающий полукруг в точке E. Длина CE является средним геометрическим между AC и CD, то есть CE=2a·n. Это не совсем то, что нужно напрямую, поэтому лучше использовать более стандартный метод построения произведения/частного.

Более надежный способ построения диагоналей:

1. Построим прямоугольный треугольник с катетами a и a2? Нет, проще использовать подобие.
2. Построим отрезок k=mn. Для этого на прямой откладываем отрезки m и n подряд, строим полукруг на их сумме, восстанавливаем перпендикуляр в месте стыка. Высота равна mn.
3. Теперь нужно построить d₁=a2m/n=a2m/n. Или преобразуем: d₁d₂=2a² и d₁/d₂=m/n. Тогда d21=2a²m/n.
4. Построим отрезок y, такой что y²=m/n. Для этого строим четвертый пропорциональный к n,m,1 (если есть единичный отрезок) или используем подобие треугольников для получения отношения m:n как коэффициента масштабирования.
5. Конкретное построение d₁: Строим угол XOY. На одной стороне откладываем OX=n, на другой OY=m. Соединяем XY. На луче OX откладываем OA=a. Проводим прямую через A, параллельную XY, она пересечет луч OY в точке B. Тогда OB=am/n. Это линейное отношение. Нам нужна квадратичная зависимость.

Вернемся к классической схеме построения средних геометрических:

1. Построим отрезок u=2m. Для этого строим прямоугольный треугольник с катетами 2 и m? Лучше так: строим отрезок 2m и 1 (единица), находим среднее геометрическое 2m. Но у нас нет единицы. У нас есть a,m,n.

Давайте выразим через известные величины без введения единицы измерения явно, используя только данные отрезки.

Пусть мы хотим построить d₁. Мы знаем, что d₁=2ma²/n. Сначала построим отрезок h, такой что h²=a²/n. Это невозможно без единицы, если n не связано с a. Однако задача предполагает построение , значит, все операции должны быть выполнимы циркулем и линейкой над данными отрезками.

Правильный путь: 1. Построить отрезок x, удовлетворяющий пропорции x:a=a:n. То есть x=a²/n. Это делается через построение четвертого пропорционального. 2. Построить отрезок y=2x=2a²/n. 3. Построить среднее геометрическое между y и m. Пусть это будет d₁. Тогда d21=y·m=2a²/n·m=2ma²/n. Следовательно, d₁=a2m/n. Это верно! 4. Аналогично, чтобы найти d₂, построим z, такое что z:a=a:m (z=a²/m). 5. Построим w=2z=2a²/m. 6. Построим среднее геометрическое между w и n. Пусть это будет d₂. Тогда d22=w·n=2a²/m·n=2na²/m. Следовательно, d₂=a2n/m. Это тоже верно!

Итак, алгоритм: - Найти d₁: построить четвертое пропорциональное к n,a,a (получим a²/n), удвоить его, затем построить среднее геометрическое полученного отрезка и отрезка m. - Найти d₂: построить четвертое пропорциональное к m,a,a (получим a²/m), удвоить его, затем построить среднее геометрическое полученного отрезка и отрезка n. - Построить ромб по диагоналям d₁ и d₂ (перпендикулярные биссектрисы).