ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 893

План решения.

Для доказательства теоремы Чевы воспользуемся методом площадей или свойством отношения отрезков на сторонах треугольника, отсекаемых секущей (как указано в подсказке к задаче 890). Пусть прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке M. Нам нужно связать отношения отрезков на сторонах с отношениями площадей треугольников или использовать подобие/теорему о пропорциональных отрезках. Согласно указанию, рассмотрим вспомогательные равенства для разных треугольников и перемножим их.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим отношение AC₁/C₁B. Треугольники AMC₁ и BMC₁ имеют общую высоту из вершины M к прямой AB, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:

Аналогично, треугольники ABC₁ и BBC₁ (или точнее, большие треугольники MAC и MBC, если рассматривать проекции, но проще через площади относительно точки M) дают нам связь. Более стандартный подход через площади всех шести малых треугольников:

Пусть S₁=S_AMB, S₂=S_BMC, S₃=S_CMA. Это не совсем удобно для прямых вычислений без чертежа. Вернемся к указанию: использовать задачу 890.

Задача 890 обычно утверждает, что если прямая проходит через вершину треугольника и пересекает противоположную сторону, то отношение отрезков на стороне равно отношению площадей треугольников, образованных этой прямой и двумя другими сторонами, либо связано с синусами углов. Однако самый надежный школьный метод — через площади.

1. Рассмотрим отношение AC₁/C₁B. Оно равно отношению площадей треугольников ACC₁ и BCC₁ (так как они имеют общую высоту из C к AB):

Также это отношение равно отношению площадей треугольников AMC₁ и BMC₁ (общая высота из M к AB):

По свойству равных отношений (a/b=c/d→a-c/b-d=a/b), получаем:

Здесь мы использовали, что S_ACC1-S_AMC1=S_AMC и S_BCC1-S_BMC1=S_BMC.

2. Аналогично для стороны BC и точки A₁:

3. И для стороны AC и точки B₁:

Теперь умножим полученные три равенства:

Обратите внимание на обозначения площадей: S_AMC=S_CMA, S_BMC=S_CMB, S_BMA=S_AMB. Подставим эти равенства в правую часть:

Все множители сокращаются:

Следовательно, левая часть также равна 1:

Проверка.

Логика доказательства опирается на фундаментальное свойство площадей треугольников с общей высотой. Если точка M совпадает с центроидом, то медианы делят стороны пополам, все отношения равны 1, произведение 1×1×1=1. Если точка M совпадает с одной из вершин (предельный случай), формула требует аккуратного обращения с нулями, но в общем случае для внутренних точек она верна. Метод сокращения дробей корректен при ненулевых площадях, что гарантировано тем, что M лежит внутри треугольника (или на его плоскости так, что треугольники невырождены).