ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 897

План доказательства.

Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD, где D лежит на стороне BC. Пусть точка пересечения всех трёх биссектрис (инцентр) обозначена как I. Нам нужно доказать, что отношение отрезков AI:ID равно отношению суммы прилежащих к вершине A сторон (AB+AC) к противолежащей стороне (BC). Для этого воспользуемся свойством биссектрисы угла в треугольнике и теоремой о делении стороны пополам или подобием, но наиболее элегантно это делается через площади или свойства угловых биссектрис во вспомогательных треугольниках. Однако, следуя подсказке учебника, мы можем опираться на ранее доказанные факты: биссектриса внешнего угла также делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон, а также свойства инцентра.

Ход решения.

1. Проведём биссектрису угла B до пересечения со стороной AC в точке E. Тогда BE — биссектриса треугольника ABC. Точка I лежит на BE.

2. Рассмотрим треугольник ABD. Отрезок BI является биссектрисой угла B в этом треугольнике? Нет, BI — часть биссектрисы угла B исходного треугольника ABC. Угол ABI=∠B/2. В треугольнике ABD биссектриса угла B не проходит через I так просто, чтобы применить стандартную формулу сразу к AI/ID.

3. Более прямой путь: используем координатный метод или векторный, либо классическое геометрическое доказательство через площади.

Давайте применим метод площадей. Обозначим длины сторон AB=c, AC=b, BC=a. Биссектриса AD делит сторону BC на отрезки BD и DC. По свойству биссектрисы: BD/DC=c/b Отсюда BD=ac/b+c, DC=ab/b+c

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Точка I лежит на биссектрисе AD. Также I лежит на биссектрисе угла B треугольника ABC. Значит, BI является биссектрисой угла B в треугольнике ABD? Да, потому что угол ABD совпадает с углом ABC, и луч BI делит его пополам. Следовательно, в треугольнике ABD отрезок BI является биссектрисой угла B.

По свойству биссектрисы в треугольнике ABD: биссектриса BI делит противоположную сторону AD в отношении прилежащих сторон AB и BD. То есть: AI/ID=AB/BD

Подставим известные значения: AB=c и BD=ac/b+c.

AI/ID=c/ac/b+c=c(b+c)/ac=b+c/a

Таким образом, AI:ID=(AB+AC):BC

Проверка и вывод.

Мы получили, что отношение отрезков, на которые инцентр делит биссектрису, действительно равно отношению суммы прилежащих сторон к противолежащей. Аналогично можно доказать для других биссектрис, рассматривая соответствующие вспомогательные треугольники. Например, для биссектрисы BE будем рассматривать треугольник BCE и биссектрису угла C в нём, получив BI:IE=(BA+BC):AC. Это подтверждает симметрию утверждения относительно всех трёх биссектрис.