ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 895: прямоугольный треугольник

План решения.

Для доказательства того, что три прямые CH, BK и AE пересекаются в одной точке, воспользуемся теоремой Чевы (или её следствием из задачи 894). Нам нужно показать, что произведение отношений отрезков, на которые эти прямые делят стороны треугольника ABC, равно единице. Обозначим точки пересечения: пусть H — основание высоты на гипотенузе AB, A₁ — точка пересечения AE с катетом BC, а B₁ — точка пересечения BK с катетом AC. Тогда нам необходимо доказать равенство:

Вычисление и доказательство подобий.

Рассмотрим отношение AH/HB. В прямоугольном треугольнике ABC высота CH, опущенная на гипотенузу, обладает свойством: CH²=AH·HB, а также AC²=AB·AH и BC²=AB·HB. Отсюда следует, что

Теперь найдем отношение CB₁/B₁A. Прямая BK проходит через вершину квадрата BCDE? Нет, K — вершина квадрата ACFK. Рассмотрим треугольники △CB₁K и △AB₁A? Нет, удобнее рассмотреть параллельность или подобие через углы. Заметим, что ∠KCA=90^° (так как ACFK квадрат) и ∠BCA=90^°. Следовательно, точки K,C,B не лежат на одной прямой, но KC⊥AC и BC⊥AC, значит KC∥BC? Нет, KC лежит на прямой, перпендикулярной AC, так же как и BC. Значит, K,C,B лежат на одной прямой? Нет, квадрат построен внешним образом . Если ∠C=90^°, то сторона CK квадрата ACFK перпендикулярна AC. Сторона CB треугольника тоже перпендикулярна AC. Значит, лучи CK и CB противоположны? Или совпадают? Внешний квадрат означает, что он лежит по другую сторону от AC, чем треугольник. Треугольник лежит в полуплоскости относительно AC, где находится B. Квадрат ACFK лежит в другой полуплоскости. Значит, угол ∠KCB=∠KCA+∠ACB=90^°+90^°=180^°. То есть точки K,C,B лежат на одной прямой!

Аналогично для квадрата BCDE: он построен внешним образом на катете BC. Угол ∠ECA=∠ECB+∠BCA=90^°+90^°=180^°. Значит, точки E,C,A лежат на одной прямой.

Это упрощает задачу кардинально. Прямая BK соединяет точку B с точкой K, лежащей на продолжении BC за точку C. Прямая AE соединяет точку A с точкой E, лежащей на продолжении AC за точку C.

Рассмотрим △AB₁K и △CB₁B? Нет, давайте используем координаты или векторы, либо подобие треугольников, образованных секущими.

Пусть C — начало координат (0,0). A=(0,b), B=(a,0). Так как квадрат ACFK внешний, а A=(0,b),C=(0,0), то вектор CA=(0,b). Поворот на -90^° (внешняя сторона) дает направление CK. Координаты K: если смотреть со стороны треугольника, квадрат снаружи. Обычно это означает, что x_K<0 или y_K>b? Давайте геометрически: K получается из A поворотом вокруг C на 90^° против часовой стрелки (если B справа, A сверху, то внешний квадрат слева). Тогда K=(-b,0)? Нет, AC вертикален. CK горизонтален влево. K=(-b,0)? Длина CK=AC=b. Да, K=(-b,0). Но тогда K,C,B лежат на оси X. B=(a,0). Это верно. Аналогично, квадрат BCDE на BC (горизонтальном отрезке). E получается поворотом B вокруг C на 90^° вниз (внешне). E=(0,-a). Точки E,C,A лежат на оси Y. A=(0,b). Это верно.

Найдем уравнение прямой BK. Она проходит через B(a,0) и K(-b,0). Это ось X (y=0). Она пересекает AC (ось Y) в точке C(0,0). Значит, B₁=C. Это вырожденный случай? Нет, мы искали пересечение BK со стороной AC. Прямая BK совпадает с прямой BC. Она пересекает AC в точке C. Значит, B₁ совпадает с C. Тогда отношение CB₁/B₁A не определено стандартно, так как B₁=C. Подождите, условие говорит "прямые ... пересекаются". Если B₁=C, то прямая BK проходит через C. Прямая CH проходит через C. Значит, они уже имеют общую точку C? Нет, CH — высота к гипотенузе. Она не проходит через C? Проходит! Высота из прямого угла C к гипотенузе AB начинается в C. Значит, все три прямые проходят через точку C?

Проверим прямую AE. A(0,b), E(0,-a). Прямая AE совпадает с осью Y (прямой AC). Она проходит через C(0,0).

Прямая BK совпадает с осью X (прямой BC). Она проходит через C(0,0).

Прямая CH проходит через C(0,0) по определению высоты из вершины C.

Следовательно, все три прямые CH, BK и AE проходят через вершину прямого угла C. Они пересекаются в одной точке — в точке C.

Проверка логики.

Действительно ли K,C,B коллинеарны? Угол ∠ACB=90^°. Квадрат ACFK построен внешним образом. Значит, ∠ACK=90^°. Сумма углов ∠ACB+∠ACK=90^°+90^°=180^°. Значит, B,C,K лежат на одной прямой. Аналогично, ∠BCE=90^°, сумма ∠BCA+∠BCE=180^°, значит A,C,E лежат на одной прямой. Прямая BK — это прямая BC. Прямая AE — это прямая AC. Прямая CH — это высота, исходящая из C. Все три прямые содержат точку C. Следовательно, они пересекаются в точке C.