ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 891: подобие треугольников

План доказательства:

Теорема Менелая утверждает, что если прямая пересекает стороны AB, BC и AC треугольника ABC (или их продолжения) в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно, то выполняется равенство произведений отношений отрезков: AC₁/C₁B·BA₁/A₁C·CB₁/B₁A=1.

В данном случае все три точки лежат на продолжениях сторон. Для доказательства воспользуемся методом площадей или проведением вспомогательной параллельной прямой. Наиболее наглядным для школьного курса является способ с проведением параллели через одну из вершин треугольника.

Ход решения:

Проведем через вершину C прямую, параллельную стороне AB. Пусть эта прямая пересекает секущую C₁A₁B₁ в точке D.

Рассмотрим подобные треугольники, образованные этой параллелью:

• Треугольник C₁AD подобен треугольнику C₁BC? Нет, давайте выберем более стандартный путь через отношение площадей или проекций, так как геометрия с параллелями при всех точках на продолжениях требует аккуратности с углами.

Используем метод площадей, который универсален для любого расположения точек.

Обозначим площадь треугольника ABC как S_ABC.

1. Рассмотрим отношение AC₁/C₁B. Треугольники ACC₁ и BCC₁ имеют общую высоту, опущенную из вершины C на прямую AB. Следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований: S_ACC1/S_BCC1=AC₁/C₁B. Также можно рассмотреть треугольники AC₁B₁ и BC₁A₁, но проще связать это с общей секущей.

Давайте применим классическое доказательство через проведение параллели через вершину B к прямой AC.

Проведем через вершину B прямую, параллельную стороне AC. Пусть она пересекает прямую C₁A₁B₁ в точке K.

Так как BK∥AC, то углы при пересечении секущими равны:

• ∠BKC₁=∠AB₁C₁ (накрест лежащие при параллельных BK и AC и секущей C₁B₁).
• ∠KBC₁=∠A (соответственные? Нет, нужно внимательно посмотреть на расположение).

Рассмотрим пару подобных треугольников △C₁BK и △C₁AA₁? Нет, точка A₁ лежит на продолжении BC.

Вернемся к надежному способу — через отношение площадей треугольников с общей вершиной на секущей.

Пусть h_A,h_B,h_C — расстояния от вершин A,B,C до прямой C₁A₁B₁.

Тогда:

Это следует из того, что прямоугольные треугольники, образованные высотами и частями секущей, подобны друг другу (углы при пересечении вертикальные или равные).

Перемножим эти три равенства:

Сокращаем дроби:

Таким образом, получаем требуемое равенство:

Проверка:

Данное доказательство не зависит от того, где именно лежат точки C_1,A_1,B₁ — на сторонах или на их продолжениях. Отношения длин отрезков всегда положительны, а отношения высот также положительны. Логика сокращения дробей остается неизменной. Теорема доказана для случая, когда все три точки лежат на продолжениях сторон.