ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 894

План решения. Для доказательства теоремы, обратной теореме Чевы, воспользуемся методом от противного или конструктивным подходом. Предположим, что прямые AA₁ и CC₁ пересекаются в некоторой точке M. Проведем прямую BM до пересечения со стороной AC в точке B₂. Наша задача — доказать, что точка B₂ совпадает с заданной точкой B₁. Если это так, то все три прямые проходят через одну точку M, что и требовалось доказать.

Вычисление и обоснование. Поскольку точки A₁, B₂ и C₁ лежат на сторонах треугольника ABC (или их продолжениях), а прямые AA₁, BB₂ и CC₁ пересекаются в одной точке M, мы можем применить прямую теорему Чевы к этому случаю. Согласно прямой теореме Чевы, для точек пересечения cevian выполняется равенство:

По условию задачи нам дано другое равенство:

Сравним два полученных выражения. Разделим первое равенство на второе (или просто приравняем левые части, так как правые равны единице):

Так как первые два множителя одинаковы и не равны нулю (точки не совпадают с вершинами), мы можем сократить их:

Это равенство означает, что точки B₁ и B₂ делят отрезок AC (или его продолжение) в одном и том же отношении. На прямой существует единственная точка, которая делит данный отрезок в данном отношении. Следовательно, точка B₂ совпадает с точкой B₁.

Проверка и вывод. Мы показали, что если провести прямую BM через точку пересечения AA₁ и CC₁, то она пересечет сторону AC именно в той точке B₁, которая указана в условии. Это значит, что прямая BB₁ проходит через точку M. Таким образом, прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке M. Теорема доказана.