ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 896
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Илья Морозов, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Точки C_1, A_1 и B_1 лежат соответственно на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC, причём отрезки AA_1, BB_1 и CC_1 пересекаются в точке O. Докажите, что CO/OC1=CA1/A1B+CB1/B_1A (теорема Ван-Обеля).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства теоремы Ван-Обеля воспользуемся методом площадей или свойством отношения отрезков, отсекаемых секущей на сторонах треугольника (следствие задачи 893). Нам нужно выразить отношение CO/OC1 через суммы отношений, связанных с точками A1 и B1. Рассмотрим два вспомогательных случая: применим известное соотношение для треугольника ACC1 с секущей BB1 и для треугольника BCC1 с секущей AA1.
Вычисление и доказательство.
Вспомним утверждение, аналогичное задаче 893: если в треугольнике проведена cevian (отрезок из вершины к противоположной стороне), то отношение отрезков этой cevian, деленных точкой пересечения с другой cevian, связано с отношениями частей основания. Более строго, используя площади треугольников:
- Рассмотрим треугольник ABC и точку O. Отношение CO/OC1 можно представить как сумму двух дробей, если разложить векторно или через площади. Однако следуем указанию учебника.
- Применим формулу для треугольника ACC1 и прямой BB1, проходящей через вершину B (которая лежит на продолжении стороны AC? Нет, B — вершина исходного треугольника, а B1 на AC). Указание говорит использовать задачу 893 для треугольника ACC1 . В этом треугольнике точка B не является вершиной. Вероятно, имеется в виду применение леммы о площадях или обобщенной теоремы Менелая/Чевы.
- Давайте используем стандартный вывод через площади, который подтверждает структуру указания. Пусть SXYZ обозначает площадь треугольника XYZ. Известно, что CO/OC1=SAOB/SABC+SBOC/SABC? Нет, это неверно. Правильное выражение через площади: CO/OC1=SAOC+SBOC/SAOB? Тоже нет. Воспользуемся следующим фактом (часто доказывается в задачах типа 893): Для точки O внутри треугольника ABC справедливо: CO/OC1=CA1/A1B+CB1/B1A Докажем это, опираясь на подсказку. Рассмотрим отношение CA1/A1B. По свойствуcevians, CA1/A1B=SACA1/SBCA1=SACO/SBCO (так как высоты из O и A/B пропорциональны площадям). Аналогично, CB1/B1A=SBCB1/SABA1? Нет, CB1/B1A=SBCO/SABO. Теперь рассмотрим отношение CO/OC1. Оно равно отношению суммарных площадей "верхних" треугольников к площади нижнего? Заметим, что CO/OC1=SACO+SBCO/SABO? Проверим. Если O центроид, то CO/OC1=2. CA1/A1B=1, CB1/B1A=1. Сумма 1+1=2. Работает. Строгое доказательство через площади: 1) CA1/A1B=SACO/SBCO. 2) CB1/B1A=SBCO/SABO. Это не складывается напрямую в CO/OC1. Давайте переформулируем согласно указанию "воспользоваться задачей 893". Задача 893 обычно утверждает: AO/OA1=AB1/B1C+AC1/C1B. Циклически переставив буквы, получаем для вершины C: CO/OC1=CB1/B1A+CA1/A1B Вот и всё. Теорема симметрична относительно вершин. Если мы знаем формулу для одной вершины (из задачи 893), то по аналогии она верна и для других. Детализация шага: Допустим, в задаче 893 было доказано, что для треугольника ABC и точек на сторонах выполняется: AA1/A1O=AB1/B1C+AC1/C1B Тогда, применяя этот же результат к треугольнику, где роль "главной" вершины играет C, а стороны — CA и CB, мы получаем: CC1/C1O=CB1/B1A+CA1/A1B Но нам нужно отношение CO/OC1. Обратим внимание на структуру дроби в условии задачи 893. Обычно там фигурирует отношение всей cevian к её части или частей друг к другу. Стандартная форма Ван-Обеля: CO/OC1=CA1/A1B+CB1/B1A Доказательство через площади (более надежное, чем ссылка на номер задачи без текста): Пусть SAOB=z, SBOC=x, SCOA=y. Тогда CA1/A1B=x+y/z+x? Нет. CA1/A1B=SCAA1/SCBA1=y+x/z+x? Нет, высоты общие. CA1/A1B=SACO/SBCO=y/x. CB1/B1A=SBCO/SABO=x/z. CO/OC1=SACO+SBCO/SABO=y+x/z. Проверим равенство: y/x+x/z=y+x/z? yz+x2/xz≠y+x/z. Где ошибка? Ошибка в определении отношений через площади для точек на сторонах. CA1/A1B=SACC1/SBCC1? Нет. Точка A1 лежит на BC. Отрезок AA1 проходит через O. BA1/A1C=SABO/SACO=z/y. Значит CA1/A1B=y/z. Точка B1 лежит на AC. Отрезок BB1 проходит через O. AB1/B1C=SABO/SBCO=z/x. Значит CB1/B1A=x/z. Теперь правая часть уравнения: CA1/A1B+CB1/B1A=y/z+x/z=x+y/z Левая часть: CO/OC1 Треугольники ACO и BCO имеют общую высоту из C? Нет. Рассмотрим треугольники AOC и BOC? Нет. Рассмотрим отношение CO/OC1. Оно равно отношению площадей SAOB/SABC? Нет. CO/OC1=SACO+SBCO/SABO=y+x/z. Почему? Потому что CO/OC1=SCAO/SC1AO=SCBO/SC1BO. По свойству равных отношений a/b=c/d=a+c/b+d. Числитель: SCAO+SCBO=y+x. Знаменатель: SC1AO+SC1BO=SABO=z. Следовательно, CO/OC1=x+y/z. Таким образом, левая часть равна правой части.
Проверка.
Мы показали, что CA1/A1B=SACO/SABO и CB1/B1A=SBCO/SABO. Их сумма дает SACO+SBCO/SABO. С другой стороны, отношение CO/OC1 также равно SACO+SBCO/SABO на основании свойства площадей треугольников с общей высотой или через подобие проекций. Равенство доказано.
Доказательство
а) Обозначим площади треугольников SBOC=x, SCOA=y, SAOB=z.
б) Выразим отношения отрезков на сторонах через площади: CA1/A1B=SCOA/SAOB=y/z. CB1/B1A=SBOC/SAOB=x/z.
в) Сложим полученные выражения: CA1/A1B+CB1/B1A=y/z+x/z=x+y/z.
г) Выразим отношение CO/OC1 через площади: CO/OC1=SCOA+SBOC/SAOB=y+x/z.
д) Сравнивая пункты 3 и 4, получаем требуемое равенство.
Использован метод площадей, который является стандартным и наиболее наглядным способом доказательства теоремы Ван-Обеля в школьном курсе геометрии. Ссылка на задачу 893 интерпретирована как использование аналогичного метода или готовой формулы для другой вершины.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 896 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 896?
Краткий ответ: Доказательство: 1. Обозначим площади треугольников S_BOC=x, S_COA=y, S_AOB=z. 2. Выразим отношения отрезков на сторонах через площади: CA_1A_1B = S_COAS_AOB = yz. CB_1B_1A = S_BOCS_AOB = xz. 3. Сложим полученные выражения: CA_1A_1B + CB_1B_1A = yz + xz = x+yz. 4. Выразим отношение COOC_1 через площади: COOC_1 = S_COA + S_BOCS_AOB = y+xz. 5. Сравнивая пункты 3 и 4, получаем требуемое равенство.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи к главе IX.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.