ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 899: окружность

План доказательства.

Для того чтобы доказать пересечение трёх отрезков в одной точке (точке Нагеля), нам необходимо установить длины отрезков, на которые точки касания вневписанных окружностей делят стороны треугольника. Мы воспользуемся свойством равенства отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности. После нахождения этих длин мы применим теорему Чевы (или ссылку на задачу 894, которая обычно является следствием теоремы Чевы или признаком concurrence для таких точек).

Вычисление длин отрезков касания.

Рассмотрим треугольник ABC со сторонами a=BC, b=AC, c=AB и полупериметром p=a+b+c/2. Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны BC и продолжений сторон AB и AC, касается стороны BC в точке A₁. Обозначим точку касания этой окружности с продолжением стороны AB за вершину B как K, а с продолжением стороны AC за вершину C как L.

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем:

• BK=BA₁ (касательные из точки B)
• CL=CA₁ (касательные из точки C)
• AK=AL (касательные из точки A)

Заметим, что длина отрезка AK складывается из AB+BK, то есть AK=c+BA₁. Аналогично, AL=AC+CL=b+CA₁. Так как BA₁=CA₁ (обозначим эту длину через x), то AK=c+x и AL=b+x. Из равенства AK=AL следует c+x=b+x, что верно только если мы правильно определили структуру. Давайте выразим сумму AK+AL.

С другой стороны, сумма длин касательных из вершины A равна периметру треугольника, уменьшенному на удвоенную сторону a? Нет, проще рассмотреть весь путь по периметру.

Рассмотрим сумму AB+BC+CA=a+b+c=2p. Также известно, что расстояние от вершины A до точек касания вневписанной окружности, прилежащей к стороне a, равно полупериметру p. То есть AK=AL=p.

Докажем это: AK+AL=(AB+BK)+(AC+CL)=AB+AC+(BA₁+CA₁)=c+b+a=2p. Поскольку AK=AL, то 2AK=2p⇒AK=p.

Теперь найдём BA₁. Так как AK=AB+BK и BK=BA₁, то p=c+BA₁. Отсюда:

Аналогично, так как AL=AC+CL и CL=CA₁, то p=b+CA₁. Отсюда:

Проверка: BA₁+CA₁=(p-c)+(p-b)=2p-(b+c)=(a+b+c)-(b+c)=a=BC. Всё сходится.

Таким образом, точка касания вневписанной окружности со стороной a делит её на отрезки длиной p-c и p-b.

Аналогично для других сторон:

• Точка касания вневписанной окружности со стороной b (AC) делит её на отрезки p-a и p-c.
• Точка касания вневписанной окружности со стороной c (AB) делит её на отрезки p-b и p-a.

Применение теоремы Чевы (задача 894).

Пусть A₁ — точка касания на стороне BC, B₁ — на стороне AC, C₁ — на стороне AB. Нам нужно проверить, пересекаются ли чевианы AA₁, BB₁, CC₁ в одной точке. Согласно теореме Чевы, это выполняется тогда и только тогда, когда:

Подставим найденные нами длины:

• BA₁=p-c, A₁C=p-b
• CB₁=p-a, B₁A=p-c (так как B₁ лежит на AC, отрезок от C до B₁ соответствует формуле для стороны b: CB₁=p-a)
• AC₁=p-b, C₁B=p-a (отрезок от A до C₁ на стороне c: AC₁=p-b)

Вычислим произведение:

Все множители сокращаются:

Условие теоремы Чевы выполнено. Следовательно, три отрезка, соединяющие вершины треугольника с точками касания соответствующих вневписанных окружностей с противоположными сторонами, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Нагеля.