ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 898: окружность

План доказательства.

Для того чтобы доказать, что три отрезка (ceviany), соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности, пересекаются в одной точке, воспользуемся теоремой Чевы. Согласно этой теореме, ceviany AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство произведений отношений отрезков на сторонах треугольника:

Здесь A₁, B₁, C₁ — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Нам нужно выразить эти отношения через свойства касательных к окружности.

Вычисление и обоснование.

Вспомним ключевое свойство: отрезки касательных, проведённые из одной точки к окружности, равны. Пусть вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁. Тогда для каждой вершины треугольника мы можем записать равенства длин отрезков касательных:

• Из вершины A: AB₁=AC₁;
• Из вершины B: BA₁=BC₁;
• Из вершины C: CA₁=CB₁.

Подставим эти равенства в левую часть формулы теоремы Чевы. Заменим знаменатели и числители на равные им отрезки:

Теперь перегруппируем множители так, чтобы показать сокращение:

Так как AB₁=AC₁, то первая скобка равна 1. Так как BA₁=BC₁, то вторая скобка равна 1. Так как CB₁=CA₁, то третья скобка равна 1.

Следовательно, всё произведение равно:

Проверка и вывод.

Мы получили, что условие теоремы Чевы выполнено: произведение отношений отрезков, на которые точки касания делят стороны треугольника, действительно равно единице. Это означает, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ являются чевьянами, удовлетворяющими условию пересечения в одной точке.

Таким образом, доказано, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности, пересекаются в одной общей точке. Эта точка называется точкой Жергонна.