ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 892

План решения.

Для доказательства теоремы, обратной теореме Менелая, воспользуемся методом от противного или методом совмещения точек. Предположим, что прямая, проходящая через две из данных точек (например, C₁ и A₁), пересекает третью сторону треугольника AC в некоторой точке B₂. Нам нужно доказать, что эта точка B₂ совпадает с заданной точкой B₁. Для этого применим прямую теорему Менелая к треугольнику ABC и секущей C₁A₁B₂, а затем сравним полученные отношения с условием задачи.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим треугольник ABC и прямую, проходящую через точки C₁ (на стороне AB) и A₁ (на стороне BC). Пусть эта прямая пересекает сторону AC (или её продолжение) в точке B₂. По прямой теореме Менелая для треугольника ABC и секущей C₁A₁B₂ выполняется равенство:

В условии задачи дано равенство:

Сравним два полученных выражения. Из первого равенства выразим произведение первых двух множителей:

Подставим это во второе равенство (из условия):

Обозначим отношение CB₁/B₁A=t. Тогда CB₂/B₂A=t. Это означает, что точки B₁ и B₂ делят отрезок CA (или его продолжение) в одном и том же отношении t. Поскольку точка на прямой, делящая данный отрезок в фиксированном отношении, единственна, то B₁ совпадает с B₂.

Проверка и вывод.

Так как точка B₂ по построению лежит на прямой C₁A₁, а мы доказали, что B₁ совпадает с B₂, то точка B₁ также лежит на прямой C₁A₁. Следовательно, три точки C₁, A₁ и B₁ лежат на одной прямой. Теорема доказана.