ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 890: подобие треугольников

План доказательства

Для доказательства теоремы Менелая воспользуемся методом вспомогательной параллельной прямой. Согласно указанию, проведём через вершину B прямую, параллельную стороне AC, и обозначим точку её пересечения с секущей m как K. Таким образом, BK∥AC. Далее мы будем использовать свойства подобных треугольников, образованных этой параллелью и секущей, чтобы выразить отношения отрезков на сторонах треугольника через отрезки на вспомогательной прямой.

Вычисление и обоснование

Рассмотрим первый подобный треугольник. Так как BK∥AC₁ (часть стороны AC), то углы ∠BKC₁ и ∠AC₁B₁ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей m. Также вертикальные углы при точке C₁ равны: ∠BC₁K=∠AC₁B₁. Следовательно, △BKC₁∼△AC₁B₁ по двум углам. Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон: BK/AC₁=BC₁/AB₁ Отсюда выразим отношение, содержащее BK: AC₁/BC₁=BK/AB₁ (1) Обратите внимание, что в условии требуется произведение AC₁/C₁B. Заметим, что C₁B — это тот же отрезок, что и BC₁. Поэтому уравнение (1) можно переписать как:

Теперь рассмотрим второй случай подобия. Прямая BK параллельна стороне AC, а значит, она параллельна и отрезку A₁C (так как A₁ лежит на продолжении AC). Рассмотрим треугольники △KBA₁ и △CA₁B₁? Нет, давайте внимательно посмотрим на конфигурацию. Точка A₁ лежит на стороне BC. Секущая проходит через A₁. Параллельные прямые BK и AC пересекаются секущей m в точках K и B₁ соответственно, а также стороной BC в точках B и A₁. Более простой путь — рассмотреть подобие треугольников △KBA₁ и △CA₁B₁ не совсем корректно из-за расположения точек. Давайте используем другой стандартный подход для второго отношения. Рассмотрим треугольники △AB₁C и... нет, вернёмся к указанию: «доказать подобие ... KBA₁ и B₁CA₁». Проверим углы. BK∥AC. Секущая BC образует равные накрест лежащие углы: ∠KBA₁=∠BCA₁ (или ∠B₁CA₁, так как A_1,C,B₁ коллинеарны? Нет, A₁ на BC, B₁ на AC). Давайте разберёмся с обозначениями строго по условию. Прямая m пересекает AB в C₁, BC в A₁, продолжение AC в B₁. Вспомогательная прямая BK∥AC. 1) Треугольники △AC₁B₁ и △BC₁K. Углы при C₁ вертикальные. Углы ∠CAB₁ и ∠CBK? Нет, BK∥AC, поэтому угол между AB и AC (∠A) равен углу между AB и BK? Не обязательно, если K не на той же стороне. Стандартное доказательство: Так как BK∥AC, то △AC₁B₁∼△BC₁K (углы при C₁ вертикальные, накрест лежащие углы ∠B₁AC₁ и ∠KBC₁? Нет, A,C_1,B на одной прямой. AC∥BK. Секущая AB. Тогда ∠CAB и ∠KBA — односторонние или накрест лежащие? Если K и C по разные стороны от AB, то накрест лежащие. В любом случае, из параллельности следует: AC₁/C₁B=AB₁/BK (Ошибка в предыдущем шаге, исправляем) Давайте аккуратно. △AC₁B₁∼△BC₁K. Соответствующие стороны: AC₁ соответствует BC₁? Нет. AC₁ лежит на AB. BC₁ лежит на AB. Это одна прямая. Вершины: A↔B, C₁↔C₁, B₁↔K. Тогда AC₁/BC₁=AB₁/BK=CB₁/CK? Нет, C не участвует. Правильное соотношение из △AC₁B₁∼△BC₁K: AC₁/BC₁=AB₁/BK Значит, AC₁/C₁B=AB₁/BK. 2) Теперь второе подобие: △KBA₁∼△CA₁B₁? Точки K,A_1,B₁ лежат на прямой m. Точки B,A_1,C лежат на прямой BC. Точки A,C,B₁ лежат на прямой AC. Так как BK∥AC, то ∠KBA₁=∠BCA₁ (накрест лежащие при секущей BC). Также ∠KA₁B=∠B₁A₁C (вертикальные). Следовательно, △KBA₁∼△CA₁B₁. Запишем пропорцию сторон: BK/CA₁=BA₁/CB₁=KA₁/A₁B₁ Нас интересует отношение BA₁/A₁C. Из пропорции выше: BA₁/CB₁=BK/CA₁impliesBA₁·CA₁=BK·CB₁ Это не совсем то, что нужно. Нам нужно выразить BA₁/A₁C. Перепишем пропорцию иначе: BK/AC₁? Нет, из △KBA₁∼△CA₁B₁: BK/CA₁=BA₁/CB₁ Отсюда BK=CA₁·BA₁/CB₁. Подставим это выражение для BK в первое соотношение. Из первого подобия (△AC₁B₁∼△BC₁K): AC₁/BC₁=AB₁/BKimpliesBK=AB₁·BC₁/AC₁ Приравниваем два выражения для BK: AB₁·BC₁/AC₁=CA₁·BA₁/CB₁ Нам нужно получить произведение трёх отношений, равное 1. Перегруппируем члены: AC₁/BC₁·BA₁/CA₁·CB₁/AB₁=1 Заметим, что BC₁=C₁B, CA₁=A₁C, CB₁=B₁C (в условии написано CB₁/B₁A, но обычно теорема Менелая записывается как (AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A)=1. Проверим последний множитель. В моём выводе получилось CB₁/AB₁. В условии CB₁/B₁A. Так как A,B_1,C коллинеарны, то AB₁ и B₁A — это длина одного и того же отрезка. Всё сходится. Итак, мы получили: AC₁/C₁B·BA₁/A₁C·CB₁/B₁A=1 Что и требовалось доказать.

Проверка

Логика построения основана на двух парах подобных треугольников, возникающих при проведении параллели к одной из сторон треугольника через противоположную вершину. Первое отношение связывает отрезки на стороне AB и отрезок BK с отрезком на продолжении AC. Второе отношение связывает отрезки на стороне BC и тот же отрезок BK с отрезками на продолжении AC. Исключение общего элемента BK приводит к искомому равенству. Знаки направлений отрезков в классической формулировке учитываются тем, что либо все три точки лежат на продолжениях, либо две на продолжениях и одна на стороне, что обеспечивает положительность произведения длин в данной записи (если рассматривать только модули длин, как принято в школьном курсе геометрии для задач на вычисление).