ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 888: трапеция

План решения.

Задача на построение трапеции ABCD (AD∥BC, AD>BC) по данным: боковая сторона AB, большее основание AD, угол при основании ∠A и отношение двух других сторон BC:CD=k. Ключевая идея — разбить задачу на две последовательные задачи построения треугольников. Сначала строим треугольник ABD, так как в нём известны две стороны и угол между ними. Затем переходим к треугольнику BCD, где нужно использовать найденную сторону BD и заданное отношение сторон.

Пошаговое вычисление и построение.

1. Построение треугольника ABD.
   • Проведём луч AX.
   • Отложим на нём отрезок AD, равный данному большему основанию.
   • При вершине A построим угол, равный данному ∠A. На одной из сторон угла отложим отрезок AB, равный данной боковой стороне.
   • Соединим точки B и D. Треугольник ABD построен. Сторона BD теперь известна (как результат построения).
2. Анализ для треугольника BCD.
   • Так как ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, то BC∥AD. Следовательно, углы ∠CBD и ∠BDA являются накрест лежащими, значит ∠CBD=∠BDA.
   • В треугольнике BCD нам известны: сторона BD (построена ранее), угол ∠CBD (равен ∠BDA) и отношение двух других сторон BC:CD=k.
   • Это задача на построение треугольника по стороне, прилежащему к ней углу и отношению двух других сторон. Решается методом подобия или через геометрическое место точек (архимедова спираль/окружность Аполлония), но в школьном курсе чаще используется вспомогательная точка.
3. Построение треугольника BCD.
   • Из точки B проведём луч BY так, чтобы ∠YBD=∠BDA (это обеспечит параллельность BC∥AD).
   • На этом луче нужно найти точку C так, чтобы BC/CD=k. Для этого можно воспользоваться следующим приёмом: на луче BY отложим произвольный отрезок BC′, а затем найдём точку D′ на прямой BD так, чтобы BC′/C′D′=k... Однако более стандартный способ для отношения сторон при известном угле:
   • Построим вспомогательный треугольник BC₀D₀, где ∠C₀BD₀=∠BDA, а стороны BC₀ и C₀D₀ относятся как k. Например, возьмем BC₀=m, тогда C₀D₀=m/k. Точку D₀ находим пересечением окружности радиуса m/k с центром C₀ и луча BD (или его продолжения). Но проще использовать свойство биссектрисы или теорему синусов численно, если дано конкретное число. В общем виде построения:
   • Строим угол ∠DBE=∠BDA.
   • Ищем точку C на луче BE такую, что CD/CB=1/k. Это задача на построение точки, удовлетворяющей условию отношения расстояний до двух фиксированных точек (D и B? Нет, до D и до прямой?).
   • Вернемся к классическому методу: пусть BC=x, CD=y, y/x=k. По теореме косинусов в △BCD: y²=x²+BD²-2x·BDcos(∠CBD). Подставив y=kx, получаем квадратное уравнение относительно x. Построить корень квадратного уравнения можно геометрически.
   • Более простой геометрический путь: Построим луч BM под углом ∠BDA к BD. Нам нужна точка C на BM, такая что CD=k·CB. Рассмотрим окружность Аполлония для отрезка BD с коэффициентом k? Нет, отношение сторон CD/CB. Это окружность Аполлония для точек D и B? Да, множество точек C, для которых CD/CB=k, является окружностью Аполлония. Строим эту окружность по отрезку BD и коэффициенту k. Пересечение этой окружности с лучом BM даёт искомую точку C.
4. Завершение построения.
   • Точка C найдена. Соединяем C с D.
   • Четырёхугольник ABCD — искомая трапеция.

Проверка.

По построению AD равно данному основанию, AB равно данной боковой стороне, ∠A равен данному. Так как ∠CBD=∠BDA (накрест лежащие при секущей BD), то BC∥AD, следовательно, ABCD — трапеция. Точка C выбрана так, что лежит на окружности Аполлония для отрезка BD с отношением CD/CB=k (или CB/CD=1/k в зависимости от формулировки отношения «двух других сторон»). Если в условии сказано отношение BC:CD, то мы строим окружность точек X, таких что XB/XD=BC/CD. Тогда C лежит на этой окружности и на луче, задающем направление BC. Условия выполнены.