ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 885: подобие треугольников

План решения.

Дана задача на построение треугольника ABC по двум сторонам AB, AC и биссектрисе AD угла A. Ключевая идея метода — использование вспомогательной параллельной прямой для создания подобия треугольников. Мы будем строить не сразу весь треугольник, а сначала его часть или вспомогательный элемент, который позволит найти длину отрезка DE (где E — точка на продолжении биссектрисы), а затем восстановить исходный треугольник.

Анализ и обоснование метода.

Пусть ABC — искомый треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную стороне AC, и обозначим точку пересечения этой прямой с продолжением биссектрисы AD как E. Так как BE∥AC, то углы ∠CAD и ∠AEB равны как внутренние накрест лежащие при секущей AE. Поскольку AD — биссектриса, то ∠CAD=∠BAD. Следовательно, ∠BAD=∠AEB, что означает равнобедренность треугольника ABE (AB=BE).

Рассмотрим треугольники ADC и EDB. У них: ∠DAC=∠DEB (доказано выше) и ∠ADC=∠EDB (вертикальные). Значит, △ADC∼△EDB по двум углам. Из подобия следует пропорция:

Так как мы установили, что EB=AB, заменим это в пропорции:

Все величины справа (AB, AC, AD) нам даны. Это значит, что отрезок ED можно построить, используя задачу о четвертом пропорциональном отрезке (или задачу 642 из учебника, как указано в подсказке). После того как мы найдем длину ED, мы сможем построить треугольник ABE по трем сторонам: AB (дано), BE=AB (так как треугольник равнобедренный) и AE=AD+DE (сумма данных и построенного отрезков). Точка C будет лежать на луче AE так, что AC равно данной стороне, но проще всего восстановить треугольник ABC следующим образом.

Пошаговое построение.

1. На произвольном луче с началом в точке O отложим последовательно отрезки, равные данным сторонам AB и AC, и биссектрисе AD. Пусть OK=AB, KL=AC, LM=AD.
2. Используя теорему Фалеса или стандартное построение четвертого пропорционального отрезка, найдем отрезок x, такой что x/AD=AB/AC. То есть x=AB·AD/AC. Этот отрезок равен искомому DE.
3. Теперь у нас есть три отрезка для построения вспомогательного треугольника ABE:
   • Сторона AB (дана).
   • Сторона BE, которая равна AB (так как △ABE равнобедренный).
   • Сторона AE, которая равна сумме AD+DE. Построим этот отрезок, сложив данные длины AD и найденную длину DE.
4. Построим треугольник ABE по трем сторонам: AB, BE=AB и AE=AD+DE.
5. На стороне AE отметим точку D так, чтобы AD было равно данной длине биссектрисы. Тогда DE автоматически окажется равным построенному нами отрезку x.
6. Проведем прямую BD и продлим её до пересечения с прямой, проходящей через точку A под углом к AE... Нет, способ проще: точка C лежит на прямой AE? Нет, C лежит на прямой, симметричной относительно биссектрисы? Вспомним анализ: BE∥AC. Значит, чтобы получить точку C, нужно провести через точку A прямую, параллельную BE. Эта прямая пересечет луч BD (продолженный за D) в точке C.
7. Итак, финальный шаг: через точку A проводим прямую, параллельную стороне BE треугольника ABE. Она пересекает луч BD в точке C. Треугольник ABC — искомый.

Проверка.

1. По построению AB и AC равны данным отрезкам (так как AC строится как часть параллелограмма/треугольника, где AC=BE? Проверим: В треугольнике ABE мы использовали BE=AB. А какова длина AC? Из подобия △ADC∼△EDB имеем AC/EB=AD/ED. Мы построили ED так, что ED=AB·AD/AC_дан. Подставим: AC_пол/AB =AD/AB·AD/AC_дан =AC_дан/AB. Отсюда AC_пол =AC_дан. Верно. 2. AD является биссектрисой? Да, так как △ABE равнобедренный (AB=BE), медиана, проведенная к основанию AE... нет, BD не медиана. Но мы знаем, что ∠BAE=∠BEA. Так как AC∥BE, то ∠CAE=∠BEA (накрест лежащие). Следовательно, ∠CAE=∠BAE, то есть AD делит угол A пополам. Верно. 3. Длина биссектрисы AD равна заданной? Да, по построению точка D лежит на AE на расстоянии AD от A.