ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 878: прямоугольный треугольник

План решения.

Для доказательства равенства площадей воспользуемся свойством биссектрисы треугольника и свойствами перпендикулярных прямых. Биссектриса внутреннего угла CM делит противоположную сторону AB в отношении прилежащих сторон. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при одной вершине взаимно перпендикулярны, что позволяет рассмотреть прямоугольный треугольник MCK. Введем обозначения для длин отрезков и выразим площади через них.

Вычисление и доказательство.

1. Свойство биссектрисы CM. По теореме о биссектрисе треугольника точка M делит сторону AB так, что: AM/MB=AC/BC По условию AC=2BC, следовательно: AM/MB=2impliesAM=2MB Так как AB=AM+MB=3MB, то MB=1/3AB и AM=2/3AB. Треугольники BCM и ACM имеют общую высоту, опущенную из вершины C на прямую AB. Отношение их площадей равно отношению оснований: S_BCM=MB/AB·S_ABC=1/3S_ABC S_ACM=AM/AB·S_ABC=2/3S_ABC Отсюда сразу следует первое равенство: S_BCM=1/2S_ACM (так как 1/3=1/2·2/3) и второе: S_BCM=1/3S_ABC.

2. Свойство биссектрисы внешнего угла CK. Биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает продолжение стороны AB в точке K. По свойству внешней биссектрисы: AK/KB=AC/BC=2 Пусть B лежит между A и K или A между B и K? Так как AC>BC, точка K лежит со стороны меньшего основания, то есть ближе к B. Порядок точек на прямой: A,M,B,K. Обозначим BK=x. Тогда AK=AB+BK=3MB+x. Из пропорции AK=2BK имеем: 3MB+x=2ximpliesx=3MB То есть BK=3MB. Теперь найдем длину отрезка MK. Точки расположены в порядке M,B,K. Следовательно: MK=MB+BK=MB+3MB=4MB

3. Анализ треугольника MCK. Биссектрисы внутреннего (CM) и внешнего (CK) углов при вершине C взаимно перпендикулярны. Значит, ∠MCK=90^°. Треугольник MCK — прямоугольный с катетами CM и CK. Однако нам нужно сравнить площадь S_CMK с другими площадями. Рассмотрим высоты этих треугольников относительно общей прямой AB. Пусть h — расстояние от точки C до прямой AB (высота треугольника ABC). Тогда: S_BCM=1/2·MB·h S_CMK=1/2·MK·h Подставим найденное соотношение MK=4MB: S_CMK=1/2·(4MB)·h=4·(1/2·MB·h)=4S_BCM Отсюда следует: S_BCM=1/4S_CMK Но в условии требуется доказать S_BCM=1/2S_CMK. Проверим условие задачи внимательно. Возможно, я ошибся в расположении точек или соотношении. Пересчитаем внешнюю биссектрису. KA/KB=CA/CB=2. Пусть KB=y, тогда KA=2y. Так как K лежит вне отрезка AB со стороны B (так как AC>BC), то KA=KB+BA. Значит 2y=y+ABimpliesy=AB. То есть KB=AB. Ранее я получил BK=3MB. Это верно, так как AB=3MB. Значит KB=3MB. Тогда MK=MB+BK=MB+3MB=4MB. Площадь S_CMK=1/2·MK·h=1/2·4MB·h=4S_BCM. Значит S_BCM=1/4S_CMK. В условии написано: S_BCM=…=1/2S_CMK. Давайте проверим указание учебника. «Доказать сначала, что треугольники MBC и MNC равны...». Это указание относится к другой задаче или другому способу? Нет, это стандартное указание для задач про средние линии. Если следовать строго геометрии, то S_BCM=1/4S_CMK. Однако, часто в таких задачах подразумевается отношение площадей треугольников, образованных биссектрисами. Давайте перепроверим формулировку равенства. S_BCM=1/2S_ACM — верно (1/3 vs 2/3). S_BCM=1/3S_ABC — верно. S_BCM=1/2S_CMK — требует проверки. Если S_CMK=2S_BCM, то MK должно быть 2MB. Но мы нашли MK=4MB. Возможно, точка K определяется иначе? «биссектриса внешнего угла ... пересекающая прямую AB в точке K». Давайте посмотрим на треугольник ACK. CK — биссектриса внешнего угла C треугольника ABC, значит она является биссектрисой внутреннего угла C треугольника ACK? Нет. Угол ACK смежный с углом ACB? Нет, CK делит пополам внешний угол. Внешний угол при C равен 180-C. Половина его (180-C)/2=90-C/2. Угол ACM=C/2. Сумма ACM+MCK? Нет, MCK=90. Угол KCA=90-C/2+C/2? Нет. △MCK прямоугольный. Может быть, в условии опечатка и должно быть 1/4? Или я неправильно понял расположение K? Если AC=2BC, то K находится на расстоянии AB от B. M находится на расстоянии 1/3AB от B. Расстояние MK=1/3AB+AB=4/3AB=4MB. Все верно. Однако, если посмотреть на похожие задачи в сборниках (например, Атанасян), иногда рассматривают площадь треугольника ACK или другого. Но давайте попробуем доказать требуемое равенство через указание, возможно там скрыт другой смысл. Указание: N — середина AC. △MBC=△MNC? Это невозможно, так как BC≠NC (NC=AC/2=BC). Да, NC=BC. И MC общая. Если бы △MBC=△MNC, то MB=MN и углы равны. Это указание похоже на решение задачи, где CM медиана? Нет, здесь биссектриса. Вернемся к числам. Если ответ учебника утверждает 1/2, а математика дает 1/4, то либо в условии ошибка (должно быть AC=3BC?), либо в требовании. При AC=3BC: AM/MB=3impliesMB=1/4AB. AK/KB=3impliesKA=3KBimpliesAB+KB=3KBimpliesAB=2KBimpliesKB=1/2AB=2MB. MK=MB+2MB=3MB. S_CMK=3S_BCM. Тоже не 2. При каком k=AC/BC будет S_BCM=1/2S_CMK? MB=1/k+1AB. KB=1/k-1AB. MK=MB+KB=AB(1/k+1+1/k-1)=AB2k/k²-1. S_CMK/S_BCM=MK/MB=2k/(k²-1)/1/(k+1)=2k/k-1. Нам нужно отношение 2. 2k/k-1=2implies2k=2k-2implies0=-2. Решений нет. Значит, равенство S_BCM=1/2S_CMK геометрически неверно для любого k>1. Скорее всего, в условии задачи номер 878 учебника Атанасяна (или аналогичного) имеется в виду другое соотношение или опечатка в ключевом слове "внешнего". Если бы K была проекцией? Нет. Однако, как учитель, я должен дать корректное математическое решение. Я докажу первые три части равенства, которые верны, и укажу на фактическое значение четвертой части, либо предположу, что имелась в виду площадь S_ACK? S_ACK=1/2AK·h=1/2(AB+KB)h=1/2(3MB+3MB)h=6S_BCM. Не подходит. Что если S_CMK означает площадь треугольника CMK? Да. Есть ли вариант, что K лежит между A и B? Нет, внешняя биссектриса всегда пересекает продолжение. *Примечание:* В некоторых изданиях этой задачи (например, задача 878 по Атанасяну) проверяется равенство S_BCM=1/3S_ABC и связь с другими элементами. Часто встречается опечатка в тиражах. Тем не менее, выполним доказательство тех частей, которые являются строгими следствиями условия, и покажем вычисление для последней части. Исправленный подход: Докажем верные части и вычислим истинное отношение для последней.

1. Так как CM — биссектриса △ABC, то по свойству биссектрисы AM/MB=AC/BC=2. Отсюда AM=2MB, а AB=3MB. Площади треугольников BCM и ACM относятся как их основания MB и AM (общая высота из C): S_BCM/S_ACM=MB/AM=1/2impliesS_BCM=1/2S_ACM Так как S_ABC=S_BCM+S_ACM=S_BCM+2S_BCM=3S_BCM, то: S_BCM=1/3S_ABC Эти два равенства доказаны.

2. Рассмотрим точку K. CK — биссектриса внешнего угла при вершине C. Она делит противоположную сторону AB (точнее, её продолжение) в отношении прилежащих сторон: AK/BK=AC/BC=2 Так как AC>BC, точка K лежит на луче BA за точкой B. Пусть BK=x. Тогда AK=AB+x. Имеем AB+x=2ximpliesx=AB. То есть BK=AB=3MB. Длина отрезка MK=MB+BK=MB+3MB=4MB. Треугольники BCM и CMK имеют общую высоту h, проведенную из вершины C к прямой AB. Их площади относятся как основания MB и MK: S_BCM/S_CMK=MB/MK=MB/4MB=1/4 Следовательно, S_BCM=1/4S_CMK. Заключение. В условии задачи приведено равенство S_BCM=1/2S_CMK. Геометрический расчет показывает, что правильное соотношение S_BCM=1/4S_CMK. Первые две части цепочки равенств (S_BCM=1/2S_ACM=1/3S_ABC) верны и доказаны выше. Для последней части необходимо использовать полученный результат S_CMK=4S_BCM.