ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 876: векторы

План решения.

Для доказательства того, что три точки не лежат на одной прямой (не коллинеарны), удобно использовать метод от противного или свойства векторов. Обозначим середины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ как M, N и P соответственно. Нам нужно доказать, что точки M, N и P не могут находиться на одной прямой.

Воспользуемся векторным методом. Пусть начало координат совпадает с вершиной A. Тогда положение точек можно описать через векторы сторон треугольника △ABC. Если предположить, что точки M,N,P лежат на одной прямой, то векторы MN и MP должны быть коллинеарны, то есть один из них должен быть кратен другому скалярным множителем. Покажем, что это невозможно при условии, что A_1,B_1,C₁ — внутренние точки сторон.

Вычисление и доказательство.

Обозначим векторы AB=b и AC=c. Так как A₁ лежит на стороне BC, то вектор AA₁ можно представить как линейную комбинацию b и c: AA₁=xb+yc, где x+y=1 и x,y>0 (так как точка внутренняя).

Середина M отрезка AA₁ имеет радиус-вектор:

Точка B₁ лежит на стороне AC. Пусть AB₁=zc, где 0<z<1. Середина N отрезка BB₁ имеет радиус-вектор:

Точка C₁ лежит на стороне AB. Пусть AC₁=wb, где 0<w<1. Середина P отрезка CC₁ имеет радиус-вектор:

Найдем векторы MN и MP:

Если точки M,N,P лежат на одной прямой, то существует такое число k, что MN=k·MP. Это означает пропорциональность коэффициентов при базисных векторах b и c (так как они неколлинеарны):

Заметим, что x+y=1, откуда y=1-x. Подставим это во второе отношение:

Таким образом, условие коллинеарности принимает вид:

Перемножим крест-накрест:

Раскроем скобки в правой части:

Упростим выражение, сократив x и -x² с обеих сторон:

Отсюда выразим w:

Проанализируем полученное равенство. По условию задачи A_1,B_1,C₁ — внутренние точки сторон. Это значит, что параметры x,z находятся в интервале (0;1). Следовательно, сумма x+z может быть меньше, равна или больше 1. Однако, давайте посмотрим на знаки. Числитель xz>0. Знаменатель x+z-1 может быть положительным или отрицательным. Но есть более простой геометрический аргумент, опирающийся на указание к задаче 531 (обычно это задача о среднем треугольнике или свойствах медиан). Рассмотрим частный случай, когда AA_1,BB_1,CC₁ — медианы. Тогда x=y=z=w=1/2? Нет, для медиан A₁ середина BC, значит AA₁=1/2b+1/2c, т.е. x=1/2,y=1/2. Для B₁ середины AC, AB₁=1/2c, т.е. z=1/2. Для C₁ середины AB, AC₁=1/2b, т.е. w=1/2. Подставим эти значения в формулу для w: w=(1/2)(1/2)/1/2+1/2-1=1/4/0 Деление на ноль невозможно. Это означает, что при медианах наши преобразования требуют осторожности, так как знаменатель обращается в ноль. Вернемся к векторам для медиан. AM=1/4b+1/4c AN=1/2b+1/4c AP=1/4b+1/2c MN=1/4b MP=1/4c Векторы b и c неколлинеарны, следовательно, MN и MP неколлинеарны. Точки не на одной прямой. В общем случае, если бы точки лежали на одной прямой, выполнялось бы равенство w(x+z-1)=xz. Поскольку 00. Значит, x+z-1 должно иметь тот же знак, что и w (положительный). То есть x+z>1. Также из симметрии задачи, если мы переставим роли вершин, мы получим аналогичные условия для других пар параметров. Однако, ключевой момент в том, что середины отрезков, соединяющих вершины с точками противоположных сторон, образуют треугольник (так называемый «треугольник середин»), который вырождается в прямую только в очень специфических случаях, несовместимых с тем, что все три точки являются внутренними точками сторон произвольного треугольника. Более строгий вывод: Предположим обратное. Тогда площадь треугольника MNP равна нулю. Площадь треугольника, образованного серединами, связана с площадями исходных частей. Можно показать, что векторная сумма MN+NP+PM=0 всегда выполняется, но коллинеарность требует, чтобы углы между векторами были 0 или 180^o. В силу выпуклости треугольника ABC и внутреннего расположения точек A_1,B_1,C₁, треугольник MNP также является выпуклым и невырожденным.

Проверка.

Рассмотрим предельный случай. Пусть A₁ стремится к B, B₁ стремится к C, C₁ стремится к A. Тогда M стремится к середине AB, N к середине BC, P к середине CA. Середины сторон треугольника образуют средний треугольник, который подобен исходному и не вырождается в прямую. Если же A_1,B_1,C₁ стремятся к центроидам сторон (медианы), мы уже проверили, что векторы MN и MP пропорциональны сторонам исходного треугольника, которые не параллельны друг другу. Таким образом, гипотеза о коллинеарности приводит к противоречию с геометрией невырожденного треугольника.