ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 853: прямоугольный треугольник
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Роман Жуков, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Точка A лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки A до сторон угла равны a и b. Найдите расстояние от точки A до вершины угла.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Обозначим вершину угла как O. Пусть стороны угла — это лучи OX и OY, причём boxdotXOY=60°. Точка A лежит внутри этого угла. Проведём перпендикуляры из точки A к сторонам угла: AB⊥OX и AD⊥OY. По условию длины этих перпендикуляров равны a и b. Нам нужно найти длину отрезка OA.
Воспользуемся подсказкой учебника. Продлим перпендикуляр AB до пересечения со стороной OY в точке C. Рассмотрим полученную конфигурацию треугольников.
Вычисления.
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник OBC (так как AB⊥OX, то и CB⊥OX). Угол при вершине O равен 60°. Тогда угол OCB=90°-60°=30°.
2. Теперь рассмотрим треугольник ADC. Так как AD⊥OY, то boxdotADC=90°. Мы знаем, что точка C лежит на прямой OY, а D тоже лежит на OY. Значит, угол ACD совпадает с углом OCB (или является вертикальным/смежным в зависимости от расположения, но по геометрии задачи C находится дальше от O, чем D, или наоборот, важно лишь соотношение углов). В треугольнике ADC угол при вершине C равен 30° (так как он тот же самый угол OCB).
3. В прямоугольном треугольнике ADC нам известен катет AD=b (расстояние до стороны OY) и острый угол boxdotACD=30°. Найдём гипотенузу AC:
AC=AD/sin(30°)=b/1/2=2b4. Вернёмся к большому треугольнику OBC. Катет OB можно выразить через BC. Но нам удобнее использовать другой путь. Рассмотрим четырёхугольник ODAB. Сумма углов в нём 360°. boxdotD=boxdotB=90°, boxdotO=60°, значит boxdotDAB=360°-90°-90°-60°=120°.
5. Давайте применим теорему косинусов к треугольнику OAB? Нет, мы не знаем OB. Лучше использовать координаты или разложение векторов, либо вернуться к подсказке про треугольники ADC и OBC.
Давайте найдём BC. В треугольнике ABC (он не прямоугольный, но мы можем рассмотреть его часть). Посмотрим на треугольник OBC. BC=OB·tan(60°)? Нет, BC — это катет напротив угла 60°? В △OBC: boxdotB=90°, boxdotO=60°. Тогда BC=OB·tan(60°)=OB3.
Это сложно. Попробуем другой подход, более прямой, используя свойство биссектрисы или площади, но задача требует конкретного метода.
Рассмотрим треугольник OAC. Мы нашли AC=2b. Чему равен угол boxdotCAO?
Проще всего вывести формулу через проекции или тригонометрию углов наклона.
Пусть boxdotAOX=α. Тогда boxdotAOY=60°-α.
Из прямоугольного треугольника AOB: AB=OAsinα=aimpliesOA=a/sinα.
Из прямоугольного треугольника AOD: AD=OAsin(60°-α)=bimpliesOA=b/sin(60°-α).
Приравняем выражения для OA:
a/sinα=b/sin(60°-α) asin(60°-α)=bsinα a(sin60°cosα-cos60°sinα)=bsinα a(3/2cosα-1/2sinα)=bsinα a3/2cosα-a/2sinα=bsinα a3/2cosα=(b+a/2)sinα a3/2cosα=2b+a/2sinα a3cosα=(2b+a)sinα cotα=2b+a/a3Нам нужно найти OA. Из OA=a/sinα следует OA2=a2/sin2α.
Используем тождество sin2α=1/1+cot2α.
OA2=a2(1+cot2α)=a2(1+(2b+a/a3)2) OA2=a2(1+(2b+a)2/3a2)=a2+(2b+a)2/3 OA2=3a2+(4b2+4ab+a2)/3=4a2+4ab+4b2/3 OA2=4(a2+ab+b2)/3 OA=4(a2+ab+b2)/3=2a2+ab+b2/3Проверка.
Если точка A лежит на биссектрисе, то a=b. Формула даёт OA=23a2/3=2a. Проверим геометрически: если a=b, то △AOB и △AOD равны, boxdotAOB=30°. Тогда OA=AB/sin(30°)=a/0.5=2a. Результат совпадает.
2\sqrt{(a^2+ab+b2}/3)
Задача решена методом тригонометрических соотношений в прямоугольных треугольниках, образованных опущенными перпендикулярами. Альтернативный метод через построение дополнительных точек (как в указании) приводит к тем же алгебраическим преобразованиям, но тригонометрический вывод более компактен и менее подвержен ошибкам при определении взаимного расположения точек.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 853 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 853?
Краткий ответ: 2 (a^2+ab+b^2/3).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи к главе VII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.