ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 845: векторы

План решения.

Для доказательства того, что образованный четырёхугольник является параллелограммом, воспользуемся методом координат или векторов. Поместим начало координат в вершину A параллелограмма ABCD. Обозначим векторы сторон как AB=b и AD=d. Тогда координаты вершин будут: A(0;0), B(b), D(d), C(b+d). Середины сторон имеют следующие координаты: P (середина AB) — 1/2b, Q (середина BC) — b+1/2d, R (середина CD) — 1/2b+d, T (середина DA) — 1/2d.

Вычисление и доказательство.

Найдём уравнения прямых, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон: 1. Прямая AQ: проходит через (0;0) и (b+1/2d). Вектор направления v₁=b+1/2d. 2. Прямая BR: проходит через b и (1/2b+d). Вектор направления v₂=(1/2b+d)-b=-1/2b+d. 3. Прямая CT: проходит через (b+d) и 1/2d. Вектор направления v₃=1/2d-(b+d)=-b-1/2d. Заметим, что v₃=-v₁, значит, CT∥AQ. 4. Прямая DP: проходит через d и 1/2b. Вектор направления v₄=1/2b-d. Заметим, что v₄=-v₂, значит, DP∥BR. Так как противоположные стороны образованного четырёхугольника попарно параллельны (AQ∥CT и BR∥DP), то этот четырёхугольник является параллелограммом. Теперь найдём отношение площадей. Пусть площадь исходного параллелограмма S_ABCD=|det(b,d)|=S. Найдём координаты вершин внутреннего параллелограмма, решая системы уравнений для точек пересечения прямых. Уравнение прямой AQ: r=t₁(b+0.5d). Уравнение прямой BR: r=b+t₂(-0.5b+d). Приравниваем коэффициенты при базисных векторах b и d: t₁=1-0.5t₂ 0.5t₁=t₂ Подставляем второе в первое: t₁=1-0.5(0.5t₁)=1-0.25t₁⇒1.25t₁=1⇒t₁=4/5. Тогда точка пересечения M (вершина внутреннего параллелограмма на AQ): m=4/5(b+0.5d)=0.8b+0.4d. Аналогично найдём соседнюю вершину N на прямой BR (пересечение с DP). Прямая DP: r=d+t₃(0.5b-d). Пересечение BR и DP: b-0.5t₂b+t₂d=0.5t₃b+(1-t₃)d Коэффициенты при b: 1-0.5t₂=0.5t₃ Коэффициенты при d: t₂=1-t₃⇒t₃=1-t₂ Подставляем: 1-0.5t₂=0.5(1-t₂)=0.5-0.5t₂⇒1=0.5? Ошибка в параметризации или вычислениях. Перепроверим. Векторное уравнение BR: X=B+u(R-B)=b+u(1/2b+d-b)=b+u(-1/2b+d)=(1-u/2)b+ud. Векторное уравнение DP: Y=D+v(P-D)=d+v(1/2b-d)=v/2b+(1-v)d. Приравниваем: 1-u/2=v/2⇒2-u=v u=1-v Подставляем v: u=1-(2-u)=u-1. Это противоречие 0=-1 означает, что я неправильно выбрал пары прямых для смежных вершин или нужно искать пересечение AQ и DP. Ищем вершину K как пересечение AQ и DP. AQ:xb+yd где y/x=0.5/1=0.5⇒y=0.5x. Точка k(x,0.5x). DP:X=v/2b+(1-v)d. Координаты в базисе: (v/2,1-v). Приравниваем компоненты: x=v/2⇒v=2x 0.5x=1-v=1-2x⇒2.5x=1⇒x=1/2.5=2/5=0.4. Тогда y=0.5·0.4=0.2. Вершина K имеет координаты (0.4,0.2) в базисе b,d. Ранее мы нашли вершину M (пересечение AQ и BR) с параметром t₁=4/5 на AQ. Координаты M: 4/5b+2/5d=(0.8,0.4). Сторона внутреннего параллелограмма KM лежит на прямой AQ. Вектор KM=M-K=(0.8-0.4)b+(0.4-0.2)d=0.4b+0.2d. Найдём другую сторону. Вершина L — пересечение BR и CT. Из симметрии центр параллелограмма совпадает с центром ABCD. Если одна сторона равна вектору s₁, то другая s₂. Можно вычислить площадь внутреннего параллелограмма через определитель векторов его сторон. Вектор одной стороны u=KM=0.4b+0.2d. Вектор другой стороны найдем как разность между точкой M(0.8,0.4) и точкой N (пересечение BR и DP?? Нет, M на AQ,BR. Соседняя вершина на BR это пересечение с DP? Нет, BR пересекает AQ в M и CT в другой точке. А DP пересекает AQ в K и CT в другой. Давайте найдем точку N — пересечение BR и DP. BR:(1-u/2,u). DP:(v/2,1-v). 1-u/2=v/2⇒2-u=v. u=1-v⇒u=1-(2-u)=u-1. Опять ошибка? Проверим условие задачи. Прямые AQ,BR,CT,DP. AQ соединяет A и середину BC. BR соединяет B и середину CD. CT соединяет C и середину DA. DP соединяет D и середину AB. Это классическая задача. Внутренний параллелограмм образуется пересечением этих четырех линий. Вершины внутреннего параллелограмма: 1. V₁=AQ∩DP 2. V₂=AQ∩BR 3. V₃=BR∩CT 4. V₄=CT∩DP Мы нашли V₁=K(0.4,0.2) и V₂=M(0.8,0.4). Вектор V₁V₂=(0.4,0.2). Найдем V₃=BR∩CT. BR:(1-u/2,u). CT: проходит через C(1,1) и T(0,0.5). Уравнение CT: x=1-w,y=1-0.5w? Нет. T — середина DA. D(0,1),A(0,0)→T(0,0.5). C(1,1). Вектор TC=(1,0.5). Прямая CT: X=T+w(C-T)=(0,0.5)+w(1,0.5)=(w,0.5+0.5w). Пересечение BR(w_b,u_b) и CT(w_c,y_c): x:1-u/2=w y:u=0.5+0.5w Подставим w: u=0.5+0.5(1-u/2)=0.5+0.5-0.25u=1-0.25u. 1.25u=1⇒u=0.8. w=1-0.4=0.6. Координаты V₃: x=0.6,y=0.5+0.3=0.8. Точка V₃(0.6,0.8). Вектор V₂V₃=V₃-V₂=(0.6-0.8,0.8-0.4)=(-0.2,0.4). Площадь внутреннего параллелограмма равна модулю определителя векторов V₁V₂ и V₂V₃.