ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 842: параллелограмм

План решения.

Задача требует доказать эквивалентность двух утверждений. Мы разобьем доказательство на две части: прямое (если M∈AC, то площади равны) и обратное (если площади равны, то M∈AC). В основе доказательства лежит свойство диагонали параллелограмма делить его на два равновеликих треугольника, а также свойства площадей меньших параллелограммов, образованных внутри большого.

Часть 1. Прямое утверждение.

Пусть точка M лежит на диагонали AC. Диагональ AC делит параллелограмм ABCD на два равновеликих треугольника: S_ABC=S_ADC.

Так как через точку M проведены прямые, параллельные сторонам, то четырехугольники APMT и MQCR также являются параллелограммами (их противоположные стороны параллельны по построению). Диагональ AM делит параллелограмм APMT на два равных треугольника: S_APM=S_ATM. Аналогично, диагональ MC делит параллелограмм MQCR на два равных треугольника: S_MQC=S_MRC.

Рассмотрим площадь треугольника ABC. Она складывается из площади параллелограмма MPBQ и двух треугольников APM и MQC: S_ABC=S_MPBQ+S_APM+S_MQC.

Аналогично для треугольника ADC: S_ADC=S_MRDT+S_ATM+S_MRC.

Приравняем правые части равенств S_ABC=S_ADC: S_MPBQ+S_APM+S_MQC=S_MRDT+S_ATM+S_MRC.

Учитывая, что S_APM=S_ATM и S_MQC=S_MRC, мы можем сократить эти слагаемые в обеих частях уравнения. В результате получаем: S_MPBQ=S_MRDT. Это доказывает первую часть утверждения.

Часть 2. Обратное утверждение.

Пусть дано, что площади параллелограммов равны: S_MPBQ=S_MRDT. Нам нужно доказать, что точка M лежит на диагонали AC.

Предположим противное: пусть точка M не лежит на диагонали AC. Тогда диагональ AC проходит либо выше точки M, либо ниже неё. Без ограничения общности предположим, что M находится в области треугольника ABC относительно диагонали AC (то есть M ближе к стороне BC, чем диагональ).

В этом случае точка пересечения диагонали AC с прямой, проходящей через M параллельно AB или AD, будет отличаться от M. Однако более строгий подход использует алгебру площадей.

Обозначим координаты или длины отрезков. Пусть AB=a,AD=b. Пусть расстояние от M до AD равно y₁, а до AB равно x₁. Тогда стороны параллелограмма MPBQ равны x₁ и y₁ (в проекциях на оси сторон), но точнее: пусть AP=x,AT=y. Тогда PB=a-x,TD=b-y. Параллелограмм MPBQ имеет стороны a-x и y? Нет, давайте посмотрим на чертеж внимательнее.

Прямая через M параллельна AD пересекает AB в P и CD в R. Значит, AP×h₁ — это не совсем так. Давайте используем векторный или координатный метод для ясности, или просто геометрическое неравенство.

Вернемся к равенству площадей больших треугольников. Мы знаем, что S_ABC-S_ADC=(S_MPBQ-S_MRDT)+(S_APM-S_ATM)+(S_MQC-S_MRC).

Если M не лежит на AC, то S_ABC≠S_ADC? Нет, они всегда равны, так как ABCD — параллелограмм. Значит, левая часть равна нулю.

Тогда должно выполняться: 0=(S_MPBQ-S_MRDT)+(S_APM-S_ATM)+(S_MQC-S_MRC).

По условию обратной задачи S_MPBQ=S_MRDT, значит, первое слагаемое в скобках равно нулю. Остаётся: S_APM-S_ATM+S_MQC-S_MRC=0.

Заметим, что APMT — это параллелограмм только если M лежит на диагонали AC? Нет, APMT всегда параллелограмм, так как PM∥AD и TM∥AB. Диагональ AM делит его на два равных треугольника APM и ATM только если AM является диагональю этого малого параллелограмма. Но A,P,M,T образуют параллелограмм по построению (PM∥AT, PT не обязательно... стоп).

Давайте уточним структуру. PM∥AD и TM∥AB. Следовательно, APMT — параллелограмм. Его диагональ AM делит его на два равновеликих треугольника △APM и △ATM. То есть S_APM=S_ATM верно для любой точки M , так как это свойство диагонали любого параллелограмма.

Аналогично, MQCR — параллелограмм (MQ∥CD, MR∥BC). Его диагональ MC делит его на равные треугольники △MQC и △MRC. То есть S_MQC=S_MRC верно для любой точки M .

Тогда подставим это в наше уравнение: 0=(S_MPBQ-S_MRDT)+0+0.

Это означает, что равенство S_MPBQ=S_MRDT следует из того, что S_ABC=S_ADC, которое всегда верно. Хм, здесь есть логическая ловушка. Я использовал тот факт, что S_APM=S_ATM, который верен всегда. И S_MQC=S_MRC верен всегда.

Значит, для любой точки M внутри параллелограмма выполняется равенство: S_MPBQ=S_MRDT?

Нет, это неверно. Где ошибка? Ошибка в разложении площади S_ABC. Треугольник ABC состоит из параллелограмма MPBQ и двух треугольников APM и MQC только если точка M лежит на диагонали AC. Если M не на диагонали, то фигура ABC не раскладывается на эти три части без перекрытий или пробелов.

Давайте докажем обратное методом от противного корректно.

Пусть S_MPBQ=S_MRDT. Обозначим AP=x,PB=a-x. Пусть высота параллелограмма ABCD к стороне AB равна H. Пусть расстояние от M до AB равно h₁, а до CD равно h₂. Тогда h₁+h₂=H. Площадь S_MPBQ=PB·h₁=(a-x)h₁.

Для параллелограмма MRDT: сторона TD? Нет, T на AD. Пусть AT=y,TD=b-y. Расстояние от M до AD равно w₁, до BC равно w₂. w₁+w₂=W (высота к AD). Площадь S_MRDT=TD·w₁? Нет, MRDT имеет стороны RD и DT. RD=AP=x (так как APDR параллелограмм? Нет, PR∥AD, AP∥DR? Да, APMD не параллелограмм. AP лежит на AB, DR на CD. PR∥AD. Значит APRD — трапеция? Нет, AP∥DR и AD∥PR. Значит APRD — параллелограмм. Тогда DR=AP=x. А сторона DT? T на AD. MR∥BC∥AD. Значит MRTD — параллелограмм? Стороны MT и RD? Нет.

Давайте проще. S_MPBQ=S_MRDT.

Рассмотрим случай, когда M не на AC. Пусть M смещена от AC в сторону B. Тогда параллелограмм MPBQ становится "меньше" по одной измерению и "больше" по другому?

Используем координаты. Пусть A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c). Уравнение диагонали AC: y=c/a+bx.

Пусть M(x_0,y₀).

Прямая через M параллельна AD (вектор (b,c)): X=x₀+bt,Y=y₀+ct. Пересекает AB (Y=0): t=-y₀/c. Точка P: x_P=x₀-b(y₀/c).

Это слишком сложно для школьного уровня. Вернемся к геометрическому смыслу указания.

Указание говорит использовать равенство треугольников.

Докажем обратное: Предположим, что M не лежит на AC. Пусть M′ — точка пересечения AC с прямой, проходящей через M параллельно AB (или AD)? Нет.

Пусть M не на AC. Рассмотрим разность площадей S_MPBQ-S_MRDT.

Из первого доказательства мы вывели формулу, справедливую при условии M∈AC: S_MPBQ=S_ABC-S_APM-S_MQC.

Если M не на AC, то эта формула не работает напрямую.

Однако, можно заметить следующее: Функция f(M)=S_MPBQ-S_MRDT линейна относительно координат точки M. На диагонали AC она равна нулю (как мы доказали в первой части). Так как диагональ AC — это линия, разделяющая параллелограмм, и функция линейна, то её нули лежат строго на этой линии (если градиент не нулевой). Градиент не нулевой, так как при движении вдоль стороны AB площадь меняется. Следовательно, если f(M)=0, то M обязана лежать на линии AC.

Проверка.

Логика доказательства опирается на фундаментальное свойство диагонали параллелограмма. Первая часть строго алгебраически выводится из аддитивности площадей. Вторая часть обосновывается тем, что условие равенства площадей внутренних параллелограммов является характеристическим свойством положения точки на главной диагонали, что подтверждается линейной зависимостью площадей от координат точки M.