ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 838: прямоугольный треугольник

План решения.

Для нахождения угла MBC воспользуемся свойствами квадрата и тригонометрическими соотношениями в треугольниках. Обозначим сторону квадрата за a. Мы можем выразить координаты точки M или длины отрезков, проведя перпендикуляры из точки M на стороны квадрата. Альтернативный геометрический путь — рассмотреть треугольники ABM и CDM, используя теорему синусов или свойства прямоугольных треугольников, чтобы найти положение точки M относительно центра или сторон.

Вычисление.

Введем систему координат так, чтобы вершина A находилась в начале координат (0;0), B в (a;0), C в (a;a), а D в (0;a). Тогда сторона AB лежит на оси Ox, а сторона AD на оси Oy.

1. Рассмотрим угол ∠MAB=60^°. Так как AB горизонтальна, прямая AM образует с осью Ox угол 60^°. Уравнение прямой AM: y=x·tan(60^°)=x3.

2. Рассмотрим угол ∠MCD=15^°. Сторона CD параллельна оси Ox (горизонтальна). Вектор CD направлен влево (от C(a;a) к D(0;a)), но для углов внутри квадрата удобнее смотреть на наклон. Прямая CM проходит через точку C(a;a). Угол наклона прямой CM к горизонтали (стороне CD) равен 15^°. Поскольку точка M находится внутри квадрата, она лежит ниже прямой CD. Значит, угол наклона прямой CM к отрицательному направлению оси Ox составляет 15^°, или же можно сказать, что угол между вектором CM и горизонталью влево равен 15^°. Более простой способ: рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный проекцией M на CD. Пусть H — проекция M на CD. Тогда MH=CH·tan(15^°). Однако проще использовать уравнение прямой. Наклон прямой CM: так как угол с горизонталью 15^° и она идет вниз-влево от C, то тангенс угла наклона к положительному направлению оси Ox будет равен tan(180^°+15^°)=tan(195^°)=tan(15^°)? Нет, давайте аккуратно. Угол MCD=15^°. Это угол между стороной CD и отрезком CM. Если мы опустим перпендикуляр из M на CD, то получим прямоугольный треугольник. Но лучше выразить координаты M(x_M;y_M).

Из условия ∠MAB=60^° следует, что y_M=x_M3.

Из условия ∠MCD=15^°. Рассмотрим треугольник, образованный точками M, C и проекцией M на прямую CD (которая есть y=a). Пусть K — проекция M на CD. Тогда MK=a-y_M. Отрезок CK=a-x_M (так как C имеет абсциссу a, а M меньше a). В прямоугольном треугольнике MKC угол при вершине C равен 15^°. Следовательно, tan(15^°)=MK/CK=a-y_M/a-x_M.

Подставим y_M=x_M3:

Нам известно, что tan(15^°)=tan(45^°-30^°)=1-1/3/1+1/3=3-1/3+1=(3-1)²/2=4-23/2=2-3.

Решаем уравнение относительно x_M:

Так как 1-3≠0, сокращаем обе части:

Теперь найдем y_M:

Итак, координаты точки M равны (a/2;a3/2).

Нам нужно найти угол ∠MBC. Точка B имеет координаты (a;0). Точка M имеет координаты (a/2;a3/2). Точка C имеет координаты (a;a), но нам нужен угол при вершине B в треугольнике MBC?

Нет, угол ∠MBC — это угол между векторами BM и BC.

Вектор BC направлен вертикально вверх: BC=(0;a).

Вектор BM=M-B=(a/2-a;a3/2-0)=(-a/2;a3/2).

Пусть α=∠MBC. Косинус угла между векторами:

Скалярное произведение:

Длины векторов:

Интересно, что |BM|=a, то есть треугольник ABM равнобедренный (AB=BM=a)? Проверим: AB=a. Да, BM=a. Значит, треугольник ABM — правильный? Угол A=60^°, стороны AB=BM=a? Нет, если AB=BM, то углы при основании AM равны. Но у нас угол MAB=60^°. Если бы треугольник был правильным, то AM тоже было бы a. Проверим длину AM: (a/2)²+(a3/2)²=a. Да! Треугольник ABM является равносторонним.

Вернемся к углу α:

Значит, α=30^°.

Проверка.

Если треугольник ABM равносторонний, то ∠MBA=60^°. Угол ABC квадрата равен 90^°. Тогда ∠MBC=∠ABC-∠MBA=90^°-60^°=30^°. Это совпадает с полученным результатом. Также проверим условие для угла MCD. Если M — вершина равностороннего треугольника на стороне AB, то его координаты (a/2,a3/2). Расстояние по вертикали до CD (y=a) равно a-a3/2=a(1-3/2). Горизонтальное расстояние от C(a,a) до проекции M равно a-a/2=a/2. Тангенс угла MCD равен отношению противолежащего катета (вертикального расстояния) к прилежащему (горизонтальному): a(1-3/2)/a/2=2(1-3/2)=2-3. Это действительно tan(15^°). Все сходится.