ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 835: векторы

Для доказательства того, что точки пересечения диагоналей квадратов образуют квадрат, воспользуемся методом векторов или комплексных чисел, либо геометрическим подходом через равенство треугольников, как указано в подсказке. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть на сторонах AB, BC, CD и DA снаружи построены квадраты. Обозначим центры этих квадратов (точки пересечения диагоналей) как O₁, O₂, O₃ и O₄ соответственно.

План решения:

1. Докажем, что отрезки O₁O₂, O₂O₃, O₃O₄ и O₄O₁ равны между собой.
2. Докажем, что соседние стороны полученного четырехугольника O₁O₂O₃O₄ взаимно перпендикулярны.

Вычисление и доказательство:

Рассмотрим треугольники BO₁O₂ и CO₂O₃ (и аналогичные им). Однако более простой путь — использовать свойства поворота. Центр квадрата, построенного на стороне AB, является точкой O₁. Вектор O₁B получается из вектора O₁A поворотом на 90 exto вокруг O₁. Аналогично для других сторон.

Давайте рассмотрим векторы, соединяющие центры смежных квадратов. Пусть M — середина AB, тогда O₁ лежит на перпендикуляре к AB в точке M, и MO₁=1/2AB. Это сложно для прямого счета без координат. Вернемся к геометрическому указанию: докажем равенство треугольников AO₁O₄, BO₁O₂, CO₂O₃, DO₃O₄.

В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны: AB=CD и BC=AD. Диагонали квадратов равны сторонам квадратов, умноженным на 2, а половины диагоналей (расстояния от вершины до центра) равны половине стороны, умноженной на 2. То есть AO₁=BO₁=CO₂=BO₂=DO₃=CO₃=AO₄=DO₄? Нет, это неверно. Расстояние от вершины параллелограмма до центра квадрата, построенного на прилежащей стороне, зависит от длины этой стороны.

Пусть AB=a, BC=b. Тогда AO₁=BO₁=a2/2, BO₂=CO₂=b2/2, CO₃=DO₃=a2/2, DO₄=AO₄=b2/2.

Рассмотрим угол ∠O₁AO₄. Он складывается из угла ∠DAB параллелограмма и углов 45^° (так как диагональ квадрата делит прямой угол пополам). То есть ∠O₁AO₄=∠A+45^°+45^°=∠A+90^°.

Аналогично, ∠O₁BO₂=∠B+90^°. Так как ∠A+∠B=180^°, то эти углы не равны напрямую, но мы рассматриваем разные треугольники.

Сравним треугольники AO₁O₄ и CO₂O₃. AO₁=CO₃=a2/2. AO₄=CO₂=b2/2. Угол ∠O₁AO₄=∠A+90^°. Угол ∠O₃CO₂=∠C+90^°. Так как ∠A=∠C в параллелограмме, то ∠O₁AO₄=∠O₃CO₂. По двум сторонам и углу между ними △AO₁O₄=△CO₂O₃. Следовательно, O₁O₄=O₂O₃.

Теперь сравним треугольники BO₁O₂ и DO₃O₄. BO₁=DO₃=a2/2. BO₂=DO₄=b2/2. Угол ∠O₁BO₂=∠B+90^°. Угол ∠O₃DO₄=∠D+90^°. Так как ∠B=∠D, то углы равны. Следовательно, △BO₁O₂=△DO₃O₄. Отсюда O₁O₂=O₃O₄.

Чтобы доказать, что все четыре стороны равны (O₁O₂=O₂O₃=O₃O₄=O₄O₁), нужно показать, что △AO₁O₄ конгруэнтно △BO₁O₂. Это верно только если a=b (ромб). В общем случае параллелограмма стороны четырехугольника центров могут быть разными? Проверим теорему Ван Обеля или свойство центров квадратов.

На самом деле, четырехугольник, образованный центрами квадратов, построенных на сторонах произвольного параллелограмма, всегда является квадратом. Докажем это через векторы. Поместим начало координат в центр параллелограмма. Или проще: рассмотрим поворот на 90^° вокруг центра параллелограмма? Нет, центр параллелограмма не обязательно совпадает с центром искомого квадрата.

Используем комплексные числа. Пусть вершины параллелограмма z_A,z_B,z_C,z_D. Центр квадрата на AB: o₁=z_A+z_B/2+iz_B-z_A/2 (если ориентация против часовой стрелки и квадрат снаружи). Для выпуклого многоугольника формула центра внешнего квадрата на векторе v: c=m+iv/2? Нет, расстояние от середины до центра равно половине стороны. Вектор перпендикулярный стороне. Если AB соответствует вектору u, то центр O₁=A+u/2-iu/2 (для наружного квадрата, если обход ABCD против часовой). Уточним знаки. Пусть A=0,B=u,C=u+v,D=v. Квадрат на AB снаружи: центр O₁=u/2-iu/2. Квадрат на BC снаружи: вектор BC=v. Центр O₂=B+v/2-iv/2=u+v/2-iv/2. Квадрат на CD снаружи: вектор CD=-u. Центр O₃=C-u/2-i(-u)/2=u+v-u/2+iu/2=u/2+v+iu/2. Квадрат на DA снаружи: вектор DA=-v. Центр O₄=D-v/2-i(-v)/2=v-v/2+iv/2=v/2+iv/2.

Найдем вектор O₁O₂=O₂-O₁=(u+v/2-iv/2)-(u/2-iu/2)=u/2+v/2-iv/2+iu/2=1+i/2(u-v)? Нет, перегруппируем: u/2+iv/2? Нет. O₂-O₁=u/2+v/2-iv/2+iu/2=1+i/2u+1-i/2v.Найдем вектор O₂O₃=O₃-O₂=(u/2+v+iu/2)-(u+v/2-iv/2)=-u/2+v/2+iu/2+iv/2=-1+i/2u+1+i/2v.Заметим, что i(O₂-O₁)=i(1+i/2u+1-i/2v)=i-1/2u+i+1/2v=-1+i/2u+1+i/2v=O₃-O₂.Таким образом, вектор O₂O₃ получается из вектора O₁O₂ умножением на i, то есть поворотом на 90^°. Это означает, что |O₁O₂|=|O₂O₃| и O₁O₂⊥O₂O₃.Аналогично можно проверить остальные стороны. Из симметрии выводов следует, что все стороны равны и углы прямые. Проверка: Если параллелограмм является прямоугольником (u⊥v), то центры квадратов образуют квадрат со стороной, равной полусумме сторон прямоугольника? Нет, в нашем случае векторное доказательство универсально. Для ромба (|u|=|v|) результат также квадрат. Для общего случая — квадрат. Теорема подтверждена.