ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 837

План решения.

В условии задачи речь идёт о трёх приложенных друг к другу квадратах. Обычно в таких задачах (классическая геометрия) вершины A являются общей для всех трёх квадратов или расположены так, что лучи AB, AC, AD идут к дальним углам каждого из квадратов. Однако стандартная формулировка «найти сумму углов β₁+β₂+β₃» для трёх квадратов часто предполагает, что один угол равен 45^o (диагональ первого квадрата), а два других связаны с треугольниками, образованными сторонами и диагоналями последующих квадратов. Давайте разберёмся с геометрией рисунка 274 (типичный учебник Атанасяна или Погорелова). Обычно на таком рисунке: 1. Первый квадрат имеет сторону 1. Угол β₁ — это угол между стороной и диагональю, то есть β₁=45^o. 2. Второй квадрат приставлен сбоку. Точка C — дальний верхний угол второго квадрата? Или речь о другом расположении? В классической задаче про три квадрата, стоящих рядом на одной прямой, и лучах, идущих из одного нижнего левого угла A к верхним правым углам каждого квадрата: - Пусть сторона каждого квадрата равна a. - Координаты точки A: (0,0). - Вершина первого квадрата B: (a,a). Вектор AB=(a,a). Угол β₁ с горизонталью: tanβ₁=a/a=1→β₁=45^o. - Вершина второго квадрата C: (2a,a). Вектор AC=(2a,a). Угол β₂ с горизонталью: tanβ₂=a/2a=1/2. - Вершина третьего квадрата D: (3a,a). Вектор AD=(3a,a). Угол β₃ с горизонталью: tanβ₃=a/3a=1/3. Но в условии спрашивается сумма β₁+β₂+β₃? Нет, обычно спрашивают сумму двух острых углов в прямоугольном треугольнике или специфическую комбинацию. Давайте посмотрим на ключ: 90^o. Если β₁=45^o, то нам нужно, чтобы β₂+β₃=45^o. Проверим это свойство: известно, что arctg(1/2)+arctg(1/3)=45^o. Доказательство через тангенс суммы: tan(β₂+β₃)=tanβ₂+tanβ₃/1-tanβ₂·tanβ₃=1/2+1/3/1-1/2·1/3=5/6/1-1/6=5/6/5/6=1 Так как β₂ и β₃ — острые углы, их сумма меньше 180^o, а тангенс равен 1, значит β₂+β₃=45^o. Тогда полная сумма: β₁+β₂+β₃=45^o+45^o=90^o. Однако в условии написано именно β₁+β₂+β₃. Если рисунок подразумевает, что все три угла измеряются от одной стороны (например, нижней), то ответ 90^o сходится. Но давайте уточним обозначения. Часто в таких задачах β₁ — угол первого квадрата (45^o), а β₂ и β₃ — углы наклона диагоналей ко второму и третьему квадрату относительно той же оси. Итак, план: 1. Определить величину угла β₁. 2. Выразить тангенсы углов β₂ и β₃ через стороны квадратов. 3. Найти сумму β₂+β₃. 4. Сложить все три угла.

Вычисление.

Пусть сторона каждого квадрата равна 1. Расположим квадраты в ряд по горизонтали. Левый нижний угол общего начала лучей обозначим точкой A(0;0). 1. Угол β₁: Луч AB проходит через верхний правый угол первого квадрата B(1;1). tanβ₁=1/1=1impliesβ₁=45^o 2. Угол β₂: Луч AC проходит через верхний правый угол второго квадрата C(2;1). tanβ₂=1/2 3. Угол β₃: Луч AD проходит через верхний правый угол третьего квадрата D(3;1). tanβ₃=1/3 Нам нужно найти сумму S=β₁+β₂+β₃. Сначала найдём сумму β₂+β₃. Используем формулу тангенса суммы: tan(β₂+β₃)=tanβ₂+tanβ₃/1-tanβ₂tanβ₃ Подставим значения: tan(β₂+β₃)=1/2+1/3/1-1/2·1/3=3+2/6/1-1/6=5/6/5/6=1 Так как β₂ и β₃ — острые углы, их сумма находится в интервале (0^o;180^o). Значение тангенса равно 1, следовательно: β₂+β₃=45^o Теперь добавим β₁: S=β₁+(β₂+β₃)=45^o+45^o=90^o

Проверка.

Результат совпадает с ключом ответа (90^o). Геометрическая интерпретация также подтверждает этот факт: если построить треугольник со сторонами, соответствующими векторам сумм, можно увидеть, что угол между диагональю первого квадрата и «виртуальной» диагональю, полученной сложением углов наклона, составляет прямой угол. Также можно проверить приближёнными вычислениями: β₁=45^o. β₂=arctg(0.5)≈26.57^o. β₃=arctg(0.333)≈18.43^o. Сумма: 45+26.57+18.43=90.00^o. Всё верно.