ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 833: прямоугольный треугольник

План решения:

• Сформулировать обратное утверждение, поменяв местами условие и заключение исходного предложения.
• Выделить данные (гипотезу) и то, что нужно доказать (заключение).
• Использовать свойства равнобедренных треугольников и признак равенства прямоугольных треугольников для доказательства перпендикулярности.

Формулировка обратного утверждения:

Если прямая, проходящая через середины оснований трапеции, перпендикулярна к основаниям, то эта трапеция является равнобедренной.

Доказательство:

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Пусть M — середина основания AD, а N — середина основания BC. По условию прямой задачи в обратном утверждении, прямая MN перпендикулярна основаниям: MN⊥AD и MN⊥BC.

Рассмотрим треугольники △ABM и △DCM. Так как M — середина AD, то AM=MD. Прямая MN является осью симметрии отрезка AD и перпендикулярна ему. Однако нам нужно связать боковые стороны. Более простой путь — рассмотреть треугольники, образованные диагоналями или боковыми сторонами и высотой.

Давайте рассмотрим прямоугольные треугольники △MNB и △MNC? Нет, это неверно, так как мы не знаем, равны ли BN и CN относительно проекций. Вернемся к определению равнобедренной трапеции: трапеция равнобедренная, если её боковые стороны равны (AB=CD) или углы при основании равны.

Проведем отрезки MB и MC. Рассмотрим треугольники △MNB и △MNC. В них: MN — общая сторона; △MNB и △MNC являются прямоугольными, так как MN⊥BC (по условию). Также BN=NC, так как N — середина BC. Следовательно, эти два прямоугольных треугольника равны по двум катетам (MN общий, BN=NC). Из равенства следует, что гипотенузы равны: MB=MC.

Теперь рассмотрим треугольники △MBA и △MCD. В них: MA=MD (так как M — середина AD); MB=MC (доказано выше); угол △BMA и угол △CMD? Мы знаем, что MN⊥AD, значит, MN является медианой и высотой в треугольнике △MBC? Нет, MN перпендикулярна AD. Значит, в треугольнике △MAD точка M лежит на стороне. Давайте посмотрим на треугольники △AMB и △DMC иначе.

Так как MN⊥AD и MN⊥BC, то MN параллельна высоте трапеции. Но проще использовать свойство симметрии. Прямая MN перпендикулярна основанию AD и проходит через его середину M. Значит, любая точка на прямой MN равноудалена от концов отрезка AD. То есть MB=MA? Нет, B не на прямой MN. Точка B имеет проекцию на AD.

Пересмотрим доказательство строго:

1. Дано: Трапеция ABCD (AD∥BC), M — середина AD, N — середина BC, MN⊥AD.
2. Так как AD∥BC и MN⊥AD, то MN⊥BC.
3. Рассмотрим △MNB и △MNC. Они прямоугольные (△MNB=△MNC=90^o), имеют общий катет MN и равные катеты BN=NC (так как N — середина BC). Значит, △MNB=△MNC по признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам). Отсюда следует, что MB=MC.
4. Рассмотрим △MBA и △MCD. В них MA=MD (так как M — середина AD), MB=MC (доказано выше). Угол △BMA и угол △CMD? Нам нужно доказать равенство этих треугольников, чтобы получить AB=CD. Для этого достаточно доказать, что они равны по трем сторонам, но третья сторона (AB и CD) как раз неизвестна. Или по двум сторонам и углу между ними. Углы при вершине M: △BMA и △CMD. Так как MN⊥AD, то △NMA=△NMD=90^o. Это не помогает напрямую с углами BMA.
5. Давайте используем координаты или векторы? Нет, геометрия 7-9 класс. Используем признак равенства треугольников △ABM и △DCM? Не совсем.
6. Вернемся к MB=MC. Треугольник △MBC — равнобедренный. Высота MN является также медианой и биссектрисой. Значит, △BMN=△CMN.
7. Рассмотрим треугольники △ABM и △DCM. Нам известно AM=DM и BM=CM. Если мы докажем, что △BAM=△CDM или △ABM=△DCM, то задача решена.
8. Заметим, что MN — ось симметрии для отрезков AD и BC. Отражение относительно прямой MN переводит точку A в точку D (так как MA=MD и MN⊥AD), а точку B в точку C (так как NB=NC и MN⊥BC). Поскольку отражение сохраняет расстояния, отрезок AB переходит в отрезок DC. Следовательно, AB=DC.
9. Трапеция с равными боковыми сторонами называется равнобедренной. Что и требовалось доказать.

Проверка:

Логика построения доказательства опирается на фундаментальные свойства осевой симметрии и равенства прямоугольных треугольников. Если прямая соединяющая середины оснований перпендикулярна им, она выступает осью симметрии всей фигуры, что автоматически делает боковые стороны равными. Обратное утверждение верно.